Ecricome Maths appliquees ECE 2004
Epreuve de maths appliquees - ECE 2004
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2004.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
1 EXERCICE
Soient
et (
On note
1.1 Etude de
- Montrer que la fonction
est paire sur - Etudier les variations de
sur l'intervalle - Déterminer la lmite de
lorsque tend vers . - Montrer que
est bornée sur - Donner l'allure de
- Montrer que
rélaise une bijection de l'intervalle [ [ sur un intervalle à préciser. - Pour tout
de l'intervalle ], déterminer l'unqiue réel appartenant à l'intervalle tel que :
- Déterminer alors la bijection réciproqie
1.2 Calcul d'aire
On considère la fonction numérique
Pour tout réel
ainsi
1.3 Etude de la suite (
2 EXERCICE
- Montrer que :
En déduire l'ensemble de définition de
2. Montrer que
3. Montrer que
4. Déterminer la limite de
5. Exprimer
2. Montrer que
3. Montrer que
4. Déterminer la limite de
5. Exprimer
1.3 Etude de la suite (
- Calculer
et . - Effectuer une intégrationpar parties et calculer
.
(On pourra remarquer que) - Déterminer le sens de variations de la suite (
). - Montrer que la suite (
) est convergente. (On ne cherchera pas sa limite dans cette question) - Justifier l'encadrement suivant :
en déduire que :
- Déterminer alors la limite de la suite
2 EXERCICE
Dans cet exercice, on étudie l'exponentielle d'une matrice pour une matrice carrée d'ordre 3, puis d'ordre 2.
2.1 Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 3.
Soient
- Montrer que la matrice
est inversible et déterminer - On pose
.
a) Calculer la matrice
b) Calculer, puis pour out entier naturel .
2.2 Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 2.
2 EXERCICE
3. En déduire que :
3. En déduire que :
où 0 désigne la matrice nulle d'ordre 3 .
4. Pour tout réel
4. Pour tout réel
où
a) Montrer que :
a) Montrer que :
b) Pour tout
c) Pour tout
c) Pour tout
2.2 Exponentielle d'une matrice carrée d'ordre 2.
Soient
Pour tout entier naturel
- Montrer que
est diagonalisable. - Déterminer une matrice
d'ordre 2 , inversible telle que
- Pour tout entier naturel
, montrer que :
- Montrer que :
exprimer de même
5. Déterminer les limites de
6. Pour tout
5. Déterminer les limites de
6. Pour tout
a) Montrer que
b) Déterminer les matrice
c) Calculer
d) En déduire que pour tout
d) En déduire que pour tout
3 Exercice
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l'intermédiaire de deux serveurs : le serveur
On constate que le serveur
On constate que le serveur
- Dans cette question, on suppose que la probabilité d'une erreur de transmission avec le serveur
est de 0.1 , alors que la probabilité d'erreur de transmission avec le serveur est de 0.05 .
a) Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur de transmission lors de l'envoi d'un courrier.
b) Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur? - Un jour donné, appelé le jour 1 , on note les différents serveurs utilisé par l'ordinateur par une suite de lettres. Par exemple, la suite
signifie que les deux premiers jours l'ordinateur a choisi le serveur , les jours 3 . 4 et 5 il a choisi le le serveur , et le jour 6 le serveur . Dans cet exemple, on dit que l'on a une première série de longueur 2 et une deuxième série de longueur 3 (Ce qui est également le cas de la série )
On notela variable aléatoire représentant la longueur de la premièer série et la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série.
Ainsi, pour, dire que signifie que pendant les premiers jours, c'est le même serveur qui a été choisi et le jours suivant l'autre serveur.
a) Jusitifier soigneusement la formule :
b) Vérifier par le calcul que
c) Déterminer l'espérance mathématique de
d) Déterminer la loi du couple aléatoire (
e) En déduire la loi de
3. Soit
a) Déterminer la loi de
b) Déterminer la loi de
c) Montrer que
d) Déterminer la loi du couple aléatoire (
e) En déduire la loi de
3. Soit
a) Déterminer la loi de
b) Déterminer la loi de
c) Montrer que
- Le temps de transmission en seconde d'un message par le serveur
est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 1 .
Le prix en eurosde cette trammission, est calculé de la façon suivante : on multiplie la durée de transmission en seconde par 0.1 euro, auquel on ajoute une somme forfaitaire de 1 euro.
a) Rappeler une densitéde ainsi que sa fonction de répartition .
b) Quel est le temps moyen (en seconde) de la transmission d'un message par le serveur
c) Exprimeren fonction de .
d) Montrer que mW est une variable al&atoire à densité. En déterminer une densité
e) Déterminer l'espérance de la variable. - On suppose que le temps de transmission d'un message en seconde par le serveur
est reprèsenté par la variable aléatoire dont une densité de probabilité est donnée par :
(On rappelle que
a) Vérifier que
b) Déterminer la fonction de répartition
c) Calculer l'espérance de la variable
a) Vérifier que
b) Déterminer la fonction de répartition
c) Calculer l'espérance de la variable
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