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Ecricome Maths appliquees ECE 2002

Epreuve de maths appliquees - ECE 2002

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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctions
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Banque
Ecricome
Année
2002
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2002.

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CONCOURS D'ADMISSION 2002

option économique

MATHÉMATIQUES

mercredi 22 mai 2002 de 8 h 00 à 12 h 00
durée : 4 heures
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

1. EXERCICE

Dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, on considère le sousensemble des matrices définies par :
Ainsi :
On note l'endomorphisme de représenté par la matrice dans la base canonique de .

1.1. Structure de .

  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
  2. Donner une base de , ainsi que sa dimension.

1.2. Etude d'un cas particulier.

On pose .
  1. Calculer . En déduire que est une matrice inversible et exprimer en fonction de A.
  2. Déterminer les valeurs propres de .
  3. Trouver une base de dans laquelle la matrice de est :

1.3. Diagonalisation des éléments de et application.

On considère les vecteurs de suivants :
  1. Justifier que les matrices de l'ensemble sont diagonalisables.
  2. Montrer que est une base de .
  3. On note la matrice de passage de la base à la base . Ecrire .
  4. Déterminer .
  5. Exprimer les vecteurs en fonction de .
  6. En déduire l'expression de la matrice de dans la base .
  7. Justifier l'égalité :
  1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit inversible.
  2. Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de .
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit inversible.

2. EXERCICE.

On considère la famille de fonctions définies sur par :

2.1. Etude des fonctions .

Soit , on note la fonction définie sur par :
  1. Etudier le sens de variation des fonctions .
  2. Calculer , puis en déduire le signe de .
  3. Etude du cas particulier .
    a. Après avoir justifié la dérivabilité de sur , exprimer en fonction de .
    b. En déduire les variations de la fonction sur .
  4. Soit
    a. Justifier la dérivabilité de sur et exprimer en fonction de .
    b. En déduire les variations de sur . (On distinguera les cas pair et impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.

2.2. Etude d'une suite.

On considère la suite définie par :

2.2.1. Calcul de .

  1. Prouver l'existence de trois réels tels que :
  1. En déduire la valeur de l'intégrale:
  1. Montrer que .
    2.2.2. Convergence de la suite .
  2. Montrer que la suite est monotone.
  3. Justifier la convergence de la suite . (on ne demande pas sa limite).
  4. Démontrer que :
  1. En déduire la limite de la suite .

2.2.3. Calcul de pour .

Pour et , on pose :
  1. Montrer que :
  1. En déduire que :
  1. Fin utilisant une intégration par parties dans le calcul de , montrer que :

3. EXERCICE.

Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher.
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de tirages ( ).

3.1. Etude du cas .

On effectue donc ici tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne.
On note la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des tirages et la variable aléatoire réelle définie par :
èé
  1. Déterminer la loi de . Donner la valeur de et de .
  2. Pour , déterminer la probabilité de l'événement , puis déterminer .
  3. Vérifier que :
  1. Pour et entier non nul, montrer que :
  1. En déduire .

3.2. Etude du cas .

On considère les variables aléatoires définies par :
è
On définit alors, pour , la variable aléatoire , par :
  1. Que représente la variable ?
  2. Donner la loi de et l'espérance de .
  3. Déterminer la loi du couple ( ). En déduire la loi de puis l'espérance .
  4. Déterminer la loi de probabilité de .
  5. Déterminer l'univers image de .
  6. Soit .
    a. Déterminer pour .
    b. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
c. En déduire que est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre .
(On raisonnera par récurrence sur : les variables étant supposées suivre une loi de Bernoulli de paramètre , et on calculera ).

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