Ecricome Maths appliquees ECE 2001
Epreuve de maths appliquees - ECE 2001
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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
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Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2001.
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CONCOURS D'ADMISSION 2001
Option économique
MATHÉMATIQUES
Mardi 24 avril 2001 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.
1. EXERCICE.
Dans cet exercice on étudie l'évolution au cours du temps d'un titre dans une bourse de valeurs.
1.1. Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice :
1.1. Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice :
où
- Montrer que, pour tous réels
, on a : - En déduire les valeurs de
pour lesquelles la matrice est inversible et exprimer son inverse. - Justifier le fait que
est diagonalisable. - Déterminer le réel
non nul, tel que :
- On considère les matrices :
où
a. Montrer qu'il existe un réel
a. Montrer qu'il existe un réel
b. Calculer
c. Pour tout entier naturel
d. Expliciter alors la matrice
c. Pour tout entier naturel
d. Expliciter alors la matrice
1.2. Evolution d'un titre boursier au cours du temps.
Dans la suite de l'exercice, on suppose que
- On définit des suites
, par leur premier terme , et les relations de récurrence :
a. Exprimer
b. Etudier la convergence de ces suites.
2. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser.
b. Etudier la convergence de ces suites.
2. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser.
Dans un modèle mathématique, on considère que :
- le premier jour le titre est stable.
- si un jour
, le titre monte, le jour , il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité , et baissera avec la probabilité . - si un jour
, le titre est stable, le jour , il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité , et baissera avec la probabilité . - si un jour
, le titre baisse, le jour , il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité , et baissera avec la probabilité .
On note(respectivement , respectivement ) l'événement "le titre donné monte (respectivement reste stable, respectivement baisse) le jour ".
a. Exprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jouren fonction de ces mêmes probabilités au jour .
b. En déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour.
c. Quelles sont les limites de ces probabilités lorsquetend vers l'infini ?
2. EXERCICE.
Un système est constitué de
2.1. Calcul du nombre moyen de composants défaillants entre les instants 0 et t
On note
- Pour tous les entiers
de , calculer la probabilité de l'événement . - Montrer que
suit une loi binômiale. Préciser ses paramètres et son espérance . - A partir de quel instant
le nombre moyen de composants défaillants dépasse-t-il la moitié du nombre de composants?
2.2. Montage en série.
On suppose que le système fonctionne correctement si tous les composants eux-mêmes fonctionnent correctement et note
- Pour
, exprimer l'événement en fonction des événements :
- Déterminer alors la fonction de répartition
de puis définir sa densité . - Reconnaître la loi de
et donner sans calcul l'espérance et la variance de .
2.3. Montage en parallèle.
On suppose maintenant que le système fonctionne correctement si l'un au moins des composants fonctionne correctement et note
- Exprimer
en fonction des événements . - Déterminer alors la fonction de répartition
de puis montrer que sa densité est définie par :
- Montrer l'existence de l'espérance
de et prouver que :
puis, que pour tous entiers naturels
- Par sommation de la relation précédente, et en utilisant l'équivalent simple :
donner un équivalent simple de
3. EXERCICE.
On désigne par
À cet effet, on introduit la fonction
3.1. Etude d'un cas particulier
Pour cette question seulement, on prend
- Représenter la fonction
relativement à un repère orthonormal du plan. (unité graphique 2 cm ) - Calculer
, puis déterminer les racines de . (On donne à près par défaut)
3.2. Dénombrement des racines de (
- Dresser le tableau de variations de
. - Justifier l'existence de racines de l'équation (
) et en déterminer le nombre.
3.3. Equivalent de la plus grande des racines quand
On note
- Justifier que
. - Démontrer que pour tout réel
:
En déduire que pour
puis, que :
- Montrer que pour tout
entier naturel, non nul :
- Quelle est la limite de
, puis la limite de , lorsque tend vers ? - Prouver enfin l'existence d'un réel
, que l'on exprimera en fonction de , tel que l'on ait, au voisinage de l'infini, l'équivalent suivant :
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