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Centrale Mathématiques 2 TSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

3,0(2 votes)
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonctions génératrices d'une variable aléatoire discrète
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Le sujet est un problème en deux parties centré sur la fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète. La première partie traite le cas des variables aléatoires finies, avec une application au lancer de deux dés faisant intervenir polynômes et nombres complexes. La seconde partie étudie le cas de variables quelconques à valeurs entières, avec des applications aux séries entières, à une loi construite à partir de la loi de Poisson et à une loi produit.

  1. 1Partie I-A : définitions et propriétésCalcul de la fonction génératrice pour les lois usuelles discrètes finies.
  2. 2Partie I-B : une applicationpremière annéeApplication au lancer de deux dés, avec des polynômes et des nombres complexes relevant du cours de première année.
  3. 3Partie II-A : définitions et probabilitésÉtude des fonctions génératrices de variables à valeurs entières, vues comme sommes de séries entières.
  4. 4Partie II-B : une loi construite à partir de la loi de PoissonÉtude d'une variable aléatoire par décomposition d'événements en union et calculs de séries entières.
  5. 5Partie II-C : une loi produitÉtude du produit de deux variables usuelles à l'aide des propriétés des fonctions génératrices.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les difficultés calculatoires étaient modérées et que de nombreuses questions étaient proches du cours, mais qu'une connaissance solide du cours restait nécessaire pour obtenir un résultat honorable.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,98 / 20 · écart-type 4,31 · 916 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,98/ 20
Écart-type
4,31
Présents
916
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,2
Médiane
9,1
3e quartile
11,9
moyenne 8,9805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Sommes géométriques et cas particulier oublié · Division sans vérifier la non-nullité de la variable · Critère de d'Alembert non systématique
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Le sujet comportait 26 questions et a permis aux candidats ayant une bonne connaissance du cours de se distinguer. Le jury regrette des erreurs sur des calculs de sommes simples et des difficultés à établir la convergence d'une série, ainsi que des copies réduites à une succession de calculs sans explication.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Sommes géométriques et cas particulier oublié

    Certains candidats ne savent pas calculer sans difficulté une somme géométrique finie et oublient le cas où la raison vaut 1.

    « les candidats devraient savoir calculer sans difficulté des sommes géométriques finis et ne pas oublier les cas particuliers »
  2. 2
    Division sans vérifier la non-nullité de la variable

    De nombreux candidats divisent par une expression sans avoir vérifié au préalable qu'elle est non nulle.

    « de nombreux candidats ne prennent pas la précaution de vérifier qu’une variable est non nulle avant une division »
  3. 3
    Critère de d'Alembert non systématique

    Le calcul d'un rayon de convergence n'a pas toujours été mené avec le critère de d'Alembert.

    « le calcul d’un rayon de convergence n’utilise pas systématiquement le critère de D’Alembert »
  4. 4
    Dérivation terme à terme non justifiée

    Le jury attendait une justification explicite de la dérivation terme à terme d'une série entière à l'intérieur de son domaine de convergence.

    « le jury attendait une justification de la dérivation termes à termes d’une série entière à l’intérieur de son domaine de convergence »
  5. 5
    Copies non rédigées

    Beaucoup de copies enchaînent des calculs sans expliquer le raisonnement, alors que le jury attend un effort de clarté et une distinction nette entre équivalence et implication.

    « Beaucoup de copies ne sont qu’une succession de calculs sans aucune explication. »

Ce qui a été bien réussi

  • Beaucoup de questions de la partie II-A, proches du cours, ont été abordées par la plupart des candidats.
  • La courte partie II-C a permis aux meilleurs candidats de se distinguer.

Conseils du jury

  • Connaître solidement le cours de mathématiques des deux années et savoir citer précisément les théorèmes, notamment le théorème de transfert en explicitant la fonction utilisée.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses avant d'utiliser un théorème.
  • Préciser clairement si un raisonnement est mené par équivalence, double implication ou simple implication.
  • Soigner l'expression en français et la présentation de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Fonctions génératrices et applications

I Cas d'un univers fini

On note ℝ[T] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de la variable réelle t. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini ( Ω, P(Ω), P ) et à valeurs dans ℕ. On définit sa fonction génératrice G_X par:
G_X : {ℝ → ℝ[T]; t ↦ E(t^X)

I.A - Définition et propriétés

Soit n ∈ ℕ^∗. On note X(Ω) = {x_1, …, x_n} ⊂ ℕ.
Q1. Montrer que:
∀t ∈ ℝ, G_X(t) = ∑_(k = 1)^n P(X = x_k)t^(x_k)
et en déduire que G_X est fonction polynomiale en t.
Q 2. Calculer G_X(1).
Q 3. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de paramètre p ∈ ]0, 1[.
Q 4. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ [1, n] ].
Q 5. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p ∈ ]0, 1[.
Q 6. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé fini ( Ω, P(Ω), P ) et à valeurs dans ℕ alors G_(X + Y) = G_X G_Y.

I.B - Une application

On jette deux dés à six faces. On note X et Y les variables aléatoires donnant la valeur de la face obtenue par le premier et le second dé. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes. On note Z = X + Y la variable aléatoire donnant la somme des deux faces obtenues.
Q 7. Préciser l'univers Ω modélisant cette expérience aléatoire.
Q 8. Calculer Z(Ω).
On suppose qu'il est possible de piper les deux dés de sorte que la variable aléatoire Z suive une loi uniforme sur [ [2, 12] ].
On note alors pour k ∈ [ [1, 6] ], α_k = P(X = k) et β_k = P(Y = k).
Q 9. Montrer que la fonction génératrice de Z est de la forme G_Z(t) = t^2 P(t) avec P un polynôme de degré 10 à coefficients réels.
Q 10. Proposer une autre écriture de la fonction génératrice de Z de la forme G_Z(t) = t^2 Q(t)R(t) avec Q ∈ ℝ_5[T] et R ∈ ℝ_5[T].
Q 11. Montrer que P = QR puis que Q et R sont de degré 5 .
Q 12. Résoudre dans ℂ l'équation ∑_(k = 0)^(10)z^k = 0 et montrer qu'elle n'admet aucune solution réelle.
Q 13. Prouver que Q et R ont chacun au moins une racines réelles.
Q 14. Aboutir à une contradiction. Conclure.

II Cas d'un univers infini

II.A - Définition et propriétés

On considère un univers Ω dénombrable muni d'une probabilité P : P(Ω) → [0, 1]. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω et à valeurs dans ℕ. On définit sa fonction génératrice G_X par :
G_X(t) = E(t^X) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)P(X = k)t^k
pour les rééls t ∈ ℝ tels que la série ∑_(k ⩾ 0)P(X = k)t^k converge (ce qui revient à dire par le théorème de transfert que t^X admet une espérance finie).
Q 15. Montrer que la série entière définissant la fonction génératrice de X a un rayon de convergence R supérieur ou égal à 1 .
Q 16. Montrer que G_X est de classe C^∞ sur ] − R, R[.
Q 17. Montrer que si R > 1 alors G_X est deux fois dérivable en 1 , puis que X admet une espérance et une variance données par :
E(X) = G^′(1), E(X(X − 1)) = G_X^(′′)(1), et V(X) = G_X^(′′)(1) + G_X^′(1) − (G_X^′(1))^2.
Un exemple :
Q 18. Soit X↪P(λ) une variable aléatoire qui suit un loi de Poisson de paramètre λ > 0 :
∀k ∈ ℕ, P(X = k) = e^(− λ)(λ^k)/(k!)
Montrer que la fonction qénératrice G_X de cette loi a un rayon de convergence égal à R = + ∞ et pour tout t ∈ ℝ, on a :
G_X(t) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)e^(− λ)(t^k λ^k)/(k!) = e^(− λ)e^(λt).
Q 19. En déduire que X admet une espérance et une variance finie puis l'expression de cette espérance et de cette variance.

II.B - Première application : une loi construite à partir de la loi de Poisson

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Soit Y la variable aléatoire réelle définie par :
{X/2, si X est paire; 0, sinon.
Q 20. Montrer que P(Y = 0) = e^(− λ)(1 + f(λ)) avec f(λ) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(λ^(2k + 1))/((2k + 1)!).
Q 21. Montrer que ∀λ > 0, f(λ) = (e^λ − e^(− λ))/2.
Q 22. Déterminer la loi de Y.
Q 23. Calculer l'espérance de Y.

II.C - Seconde application : une loi produit

Soit Ω un univers dénombrable muni d'une probabilité P : Ω → [0, 1]. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur Ω telles que :
− X↪P(λ) avec λ > 0;
− Y↪B(p) avec p ∈ ]0, 1[;
  • X et Y sont indépendantes, ce qui signifie que pour tout n ∈ ℕ et tout k ∈ {0, 1}, P((X = n) ∩ (Y = k)) = P(X = n)P(Y = k).
    On pose Z = XY et on note G_X, G_Y, G_Z les fonctions génératrices de ces trois variables aléatoires.
    Q 24. Montrer que P(Z = 0) = q + pe^(− λ) où q = 1 − p.
    Q 25. En déduire que G_Z = G_Y ∘ G_X.
    Q 26. Puis calculer l'espérance et la variance de Z.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte Mathématiques 2 TSI Centrale 2024 ?
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Sur quels chapitres porte Mathématiques 2 TSI Centrale 2024 ?

Le sujet porte sur la fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète, avec des applications aux lois usuelles, aux polynômes, aux nombres complexes et aux séries entières.

Le sujet Mathématiques 2 TSI Centrale 2024 sur les fonctions génératrices est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de calculatoirement modéré, avec de nombreuses questions proches du cours, mais une bonne connaissance du cours restait nécessaire pour bien réussir.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Des erreurs sur des sommes géométriques et sur la convergence de séries, l'oubli de vérifier qu'une variable est non nulle avant une division, et des copies non rédigées composées uniquement de calculs.

Ce sujet est-il faisable en première année de prépa TSI ?

Le rapport précise seulement que la partie I-B, sur le lancer de deux dés, relève du cours de première année ; il ne donne pas d'indication sur le niveau requis pour les autres parties.

Pas de description pour le moment