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Centrale Mathématiques 2 PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,28 / 20 · écart-type 3,56 · 3 414 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,28/ 20
Écart-type
3,56
Présents
3 414
Durée
4 h
1er quartile
6,7
Médiane
8,7
3e quartile
11,5
moyenne 9,2805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Le sujet est composée de trois parties.
Dans la partie I, on définit une suite (α_n)_n d'entiers naturels via le développement en série entière d'une fonction auxiliaire et on s'intéresse en particulier à la suite extraite (α_(2n + 1))_n formée des termes de rang impair.
Dans la partie II, on détermine un équivalent, lorsque n tend vers l'infini, de α_(2n + 1) en faisant appel à des outils analytiques et notamment à la fonction zêta de Riemann.
Dans la partie III, on définit les permutations alternantes. On procède d'abord à leur dénombrement, avant de s'intéresser à des aspects probabilistes.
La partie II fait appel, très ponctuellement, à des résultats de la partie I. La partie III utilise des résultats des parties I et II.

I Introduction d'une fonction auxiliaire

Soit l'intervalle I = ] − π/2, π/2[. On considère la fonction f définie sur I par
∀x ∈ I, f(x) = (sinx + 1)/(cosx).
On note f^((n)) la dérivée d'ordre n de f et, par convention, f^((0)) = f.

I.A - Dérivées successives

Q 1. Exprimer les dérivées f^′, f^(′′) et f^((3)) à l'aide des fonctions usuelles.
Q 2. Montrer qu'il existe une suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ) à coefficients réels telle que
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ I, f^((n))(x) = (P_n(sinx))/((cosx)^(n + 1)).
On explicitera les polynômes P_0, P_1, P_2, P_3 et, pour tout entier naturel n, on exprimera P_(n + 1) en fonction de P_n et P_n^′.
Q 3. Justifier que, pour tout entier n ⩾ 1, le polynôme P_n est unitaire, de degré n et que ses coefficients sont des entiers naturels.
Q 4. Montrer
∀x ∈ I, 2f^′(x) = f(x)^2 + 1.
Pour tout entier naturel n, on pose α_n = f^((n))(0) = P_n(0).
Q 5. Montrer 2α_1 = α_0^2 + 1 et
∀n ∈ ℕ^⋆, 2α_(n + 1) = ∑_(k = 0)^n(n/k)α_k α_(n − k).

I.B - Développement en série entière

On note R le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ∈ ℕ)(α_n)/(n!)x^n et g sa somme.
Q 6. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer
∀N ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, π/2[, ∑_(n = 0)^N(α_n)/(n!)x^n ⩽ f(x).
Q 7. En déduire la minoration R ⩾ π/2.
Q 8. Montrer
∀x ∈ I, 2g^′(x) = g(x)^2 + 1
Q 9. Montrer
∀x ∈ I, f(x) = g(x)
Considérer les fonctions arctanf et arctang.
Q 10. En déduire que R = π/2.
I. C − Partie paire et partie impaire du développement en série entière
Q 11. Justifier que toute fonction h : I → ℝ s'écrit de façon unique sous la forme h = p + i avec p : I → ℝ une fonction paire et i : I → ℝ une fonction impaire.
Q 12. En déduire
∀x ∈ I, tan(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(α_(2n + 1))/((2n + 1)!)x^(2n + 1) et 1/(cosx) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(α_(2n))/((2n)!)x^(2n)
On note t la fonction définie sur I par t(x) = tan(x).
Q 13. Pour tout entier naturel n, exprimer t^((n))(0) en fonction des réels (α_i)_(i ∈ ℕ).
Q 14. Rappeler, sans justification, l'expression de t^′ en fonction de t.
Q 15. En déduire
∀n ∈ ℕ^⋆, α_(2n + 1) = ∑_(k = 1)^n((2n)/(2k − 1))α_(2k − 1)α_(2n − 2k + 1).

II Équivalent de α_(2n + 1)

II.A - La fonction zêta

Pour tout s > 1, on pose ζ(s) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^s).
Q 16. Montrer que ζ est continue sur ]1, + ∞[.
Q 17. Encadrer ∑_(n = 2)^(+ ∞)1/(n^s) par deux intégrales et en déduire lim_(s → + ∞)ζ(s) = 1.
Q 18. Déterminer C(s) tel que
∀s ∈ ]1, + ∞[, ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((2k − 1)^s) = C(s)ζ(s)

II.B - Une formule pour la fonction cosinus

Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose I_n(x) = ∫_0^(π/2)cos(2xt)(cost)^n dt.
Q 19. Montrer
∀n ∈ [ [2, + ∞[ [, ∀x ∈ ℝ, (1 − (4x^2)/(n^2))I_n(x) = (n − 1)/nI_(n − 2)(x) et (1 − (4x^2)/(n^2))(I_n(x))/(I_n(0)) = (I_(n − 2)(x))/(I_(n − 2)(0))
Q 20. Montrer
∀n ∈ ℕ^⋆, ∀x ∈ ℝ, sin(πx) = πx(I_(2n)(x))/(I_(2n)(0))∏_(k = 1)^n(1 − (x^2)/(k^2)).
Q 21. En déduire
∀n ∈ ℕ^⋆, ∀x ∈ ]0, 1[, cos(πx) = 1/2(I_(4n)(2x))/(I_(4n)(0))(I_(2n)(0))/(I_(2n)(x))∏_(p = 1)^n(1 − (4x^2)/((2p − 1)^2))

II.C - Un autre développement de tangente

Dans toute cette sous-partie II.C, on pose J = [0, 1/2[ et, pour tout entier naturel n et tout réel x de J,
S_n(x) = ∑_(p = 1)^(+ ∞)(∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(2^(2p + 1)x^(2p − 1))/((2k − 1)^(2p)))
Q 22. Montrer
∀n ∈ ℕ^⋆, ∀s ∈ ]1, + ∞[, ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)1/((2k − 1)^s) ⩽ 1/(2(s − 1))1/((2n − 1)^(s − 1))
Q 23. Justifier que, pour tout entier naturel n, la fonction S_n est définie sur J.
Q 24. Montrer que la suite (S_n) converge simplement sur J vers la fonction nulle.
Q 25. En dérivant x ↦ ln(cos(πx)), montrer
∀x ∈ J, πtan(πx) = − (2I_(4n)^′(2x))/(I_(4n)(2x)) + (I_(2n)^′(x))/(I_(2n)(x)) + ∑_(k = 1)^n(8x)/((2k − 1)^2)1/(1 − (4x^2)/((2k − 1)^2))
Q 26. Montrer
∀n ∈ ℕ^⋆, ∀x ∈ J, πtan(πx) + S_n(x) = − (2I_(4n)^′(2x))/(I_(4n)(2x)) + (I_(2n)^′(x))/(I_(2n)(x)) + ∑_(p = 1)^(+ ∞)2(2^(2p) − 1)ζ(2p)x^(2p − 1)
Q 27. Montrer l'inégalité tcos(t) ⩽ sin(t), pour tout t de [0, π/2].
Q 28. En déduire
∀n ∈ ℕ^⋆, ∀x ∈ [0, 1], 0 ⩽ − I_n^′(x) ⩽ (4x)/nI_n(x)
puis, pour x ∈ [0, 1], la limite lim_(n → + ∞)(I_n^′(x))/(I_n(x)).
Q 29. En déduire l'égalité
∀x ∈ J, πtan(πx) = ∑_(p = 1)^(+ ∞)2(2^(2p) − 1)ζ(2p)x^(2p − 1)

II.D - Un équivalent de α_(2n + 1)

Q 30. Montrer
∀n ∈ ℕ, α_(2n + 1) = (2(2^(2n + 2) − 1)(2n + 1)!)/(π^(2n + 2))ζ(2n + 2)
Q 31. En déduire un équivalent de α_(2n + 1) lorsque n tend vers l'infini.

III Permutations alternantes

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit ( x_1, x_2, …, x_n ) une liste de n nombres réels. On dit que la liste (x_1, …, x_n) est alternante montante si (− 1)^i(x_i − x_(i − 1)) > 0 pour tout i ∈ [ [2, n] ]. On dit qu'elle est alternante descendante si (− 1)^i(x_i − x_(i − 1)) < 0 pour tout i ∈ [ [2, n] ].
Autrement dit, la liste (x_1, …, x_n) est alternante montante si elle vérifie les inégalités x_1 < x_2 > x_3 < x_4 > ⋯. Elle est alternante descendante si elle vérifie les inégalités inverses.
Par exemple, ( 1, 5, 3, 11, 8, 9 ) est alternante montante car 1 < 5 > 3 < 11 > 8 < 9 et ( 7, 4, 5, 2, 12 ) est alternante descendante car 7 > 4 < 5 > 2 < 12.
On dit qu'une permutation σ de l'ensemble [ [1, n] ] est alternante montante (respectivement alternante descendante) si la liste (σ(1), …, σ(n)) est alternante montante (respectivement alternante descendante).
Par exemple, avec n = 7 et en représentant toute permutation σ par la liste des images (σ(1), …, σ(7)), on constate que ( 1, 5, 4, 6, 2, 7, 3 ) représente une permutation alternante montante et ( 3, 2, 6, 4, 7, 1, 5 ) une permutation alternante descendante.

III.A - Dénombrement des permutations alternantes

Q 32. Déterminer les permutations alternantes montantes de [ [1, n] ] pour n = 2, n = 3, n = 4.
Q 33. Montrer, pour tout n ⩾ 2, que le nombre de permutations alternantes montantes est égal au nombre de permutations alternantes descendantes.
Si n ⩾ 2, on note β_n le nombre de permutations alternantes montantes de [ [1, n] ], et on convient que β_0 = β_1 = 1.
Q 34. Soient k et n deux entiers tels que 2 ⩽ k ⩽ n et A une partie à k éléments de [ [1, n] ]. On considère les listes (x_1, …, x_k) constituées de k éléments deux à deux distincts de A. Montrer que le nombre de ces listes qui sont alternantes montantes est égal à β_k.
Le nombre de celles qui sont alternantes descendantes est le même, mais on ne demande pas de le justifier.
Q 35. Montrer, pour tout entier n ⩾ 1, 2β_(n + 1) = ∑_(k = 0)^n(n/k)β_k β_(n − k).
Pour k ∈ [ [0, n] ], dénombrer les permutations σ alternantes (montantes ou descendantes) de [ [1, n + 1] ] telles que σ(k + 1) = n + 1.
Q 36. En déduire que β_n = α_n pour tout n ∈ ℕ.

III.B - Permutations aléatoires

Pour tout entier n ⩾ 2, on munit l'ensemble Ω_n des permutations de [ [1, n] ] de la probabilité uniforme. On note p_n la probabilité qu'une permutation dans Ω_n soit alternante montante. On convient de plus que p_0 = p_1 = 1.
Q 37. Montrer que la suite ( p_n ) tend vers 0 . Donner un équivalent de p_(2n + 1) quand n tend vers l'infini.
On définit une variable aléatoire M_n sur Ω_n en associant à toute permutation σ ∈ Ω_n l'entier M_n(σ) tel que :
  • M_n(σ) = 2 si σ(1) > σ(2);
  • M_n(σ) = 3 si σ(1) < σ(2) < σ(3);
  • M_n(σ) = 4 si σ(1) < σ(2) > σ(3) > σ(4);
  • ⋯
  • M_n(σ) = n + 1 si σ est alternante montante.
En d'autres termes, M_n(σ) = k + 1, où k est le plus grand entier tel que ( σ(1), …, σ(k) ) soit alternante montante.
On note 𝔼(M_n) l'espérance de M_n.
Q 38. Pour tout i ∈ [ [0, n] ], montrer ℙ(M_n > i) = p_i.
Q 39. Exprimer 𝔼(M_n) en fonction de p_0, p_1, …, p_n. En déduire lim_(n → ∞)𝔼(M_n) = (sin(1) + 1)/(cos(1)).

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