Le sujet suit Major Tom, scientifique qui explore une planète inconnue et mesure son champ de pesanteur, sa température, l'indice de son atmosphère et son activité sismique. Il comporte trois parties indépendantes (52 questions) : mécanique, filtrage et thermodynamique autour du ressort, puis modèle de l'électron élastiquement lié et propagation dans un milieu, enfin puits de potentiel infini et interféromètre de Young.

1Partie I : le ressort, couteau-suisse de la physiqueMesures du champ de pesanteur (pendule, force d'inertie d'entraînement, ressort pesant), ondes sismiques et sismomètre étudié par sa fonction de transfert, puis thermomètre fondé sur l'entropie d'un ressort.
2Partie II : interaction lumière-matièreModèle de Thomson et électron élastiquement lié, constante diélectrique complexe, propagation d'une onde plane dans un milieu absorbant et absorbance.
3Partie III : mesure optique et spectroscopieParticule dans un puits de potentiel infini appliquée au buta-1,3-diène, puis mesure de l'indice d'un gaz avec des fentes de Young et deux cuves.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet à nombreuses questions proches du cours avec une progression des difficultés, mais plusieurs questions de fin de partie (Q11 à Q13, Q42, Q51 et Q52) n'ont pas été abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,64 / 20 · écart-type 3,88 · 6 790 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,64/ 20
Écart-type: 3,88
Présents: 6 790
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Signe de la force d'inertie d'entraînement · Incertitude-type relative · Définitions des ondes longitudinales et transversales

Le jury juge le sujet complet et varié, avec beaucoup de questions proches du cours. Il regrette qu'une part trop importante des candidats ne maîtrise pas des définitions et expressions de base (ondes longitudinales et transversales, état stationnaire, force gravitationnelle, vecteur de Poynting). Des erreurs de signe, d'homogénéité ou de calcul ont conduit à des résultats aberrants que les candidats n'ont pas détectés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Signe de la force d'inertie d'entraînementQ3
Une erreur de signe sur l'accélération d'entraînement donne une force d'inertie centripète sans sens physique ; certains la confondent avec la force de Coriolis.
« Les erreurs de signe sur l’accélération d’entraînement sont très fréquentes, ce qui aboutit à une force d’inertie centripète dépourvue de sens physique. »
2
Incertitude-type relativeQ6
L'application numérique est souvent juste, mais l'incertitude relative est confondue avec l'incertitude absolue ou estimée par une formule non homogène. Certains comparent à tort la valeur à celle de la Terre.
« l’estimation de l’incertitude-type relative est très rarement menée à bien »
3
Définitions des ondes longitudinales et transversalesQ14
Les définitions sont rarement exactes, les exemples mal choisis, et la célérité des ondes sismiques est souvent prise pour la vitesse de la lumière.
« Les définitions des ondes longitudinales et transversales sont très rarement exactes. »
4
Justification de l'équation du sismomètreQ17
Bien que l'équation finale soit donnée, le référentiel non galiléen n'est presque jamais précisé et le poids est omis au lieu d'être compensé par la condition d'équilibre.
« le référentiel non galiléen n’est presque jamais précisé »
5
Vitesse de phase et dispersionQ39
La vitesse de phase est confondue avec la vitesse de groupe, la partie réelle de k n'est pas utilisée, et le milieu est dit non dispersif alors que la permittivité dépend de la pulsation.
« La vitesse de phase est très souvent confondue avec la vitesse de groupe »
6
Définition d'un état stationnaireQ43, Q44
Les candidats se limitent à la séparation des variables déjà indiquée par l'énoncé, et l'équation de Schrödinger dépendante du temps est parfois écrite avec une dérivée seconde en temps.
« La définition de l’état stationnaire est mal connue »

Ce qui a été bien réussi

Plusieurs questions sont traitées sans difficulté : Q9, Q15, Q16a, Q18, Q19 et Q26 à Q34.
La résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps (Q45 et Q46) est globalement bien menée.
La définition du vecteur de Poynting est généralement connue.
Le jury signale un certain nombre de copies d'excellente qualité, rigoureuses et critiques envers leurs résultats.

Conseils du jury

Porter un regard critique sur chaque application numérique pour repérer les résultats aberrants.
Écrire les forces sous forme vectorielle et justifier leur expression, par exemple par le théorème de Gauss gravitationnel.
Préciser le référentiel d'étude avant d'introduire une force d'inertie.
Distinguer longueur à vide, longueur à l'équilibre et allongement d'un ressort.
Justifier les résultats d'optique par un tracé de rayons clair plutôt que de les donner directement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

51 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est constitué de trois parties totalement indépendantes.

CAHIER DE BORD D'UNE EXPÉDITION SUR LA PLANÈTE X

La partie I fait appel aux cours de mécanique du point, à celui sur les fonctions de transfert et au cours de thermodynamique.
La partie II fait appel aux cours d'électromagnétisme.
La partie III fait appel aux cours de mécanique quantique et d'optique.
Données :

-charge de l'électron : $- e = - 1, 6 \cdot 10^(- 19)C$ ,
-masse de l'électron : $m = 9, 1 \cdot 10^(- 31) kg$ ,
-constante de Planck : $h = 6, 6 \cdot 10^(- 34) J \cdot s$ ,
-célérité de la lumière dans le vide : $c = 3, 0 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)$ ,
- $\sqrt(2, 5) ≃ 1, 6; π^2 ≃ 10$ .

On notera

ι

l'imaginaire pur, tel que

l^2 = - 1

.
Dans son cahier de bord, Major Tom, scientifique embarqué dans une mission pour découvrir une planète inconnue, enregistre et analyse toutes les observations et découvertes faites lors d'une expédition. Une fois arrivé sur la planète, Major Tom décrit en détail les expériences qu'il mène pour connaître son nouvel environnement. En particulier le champ de pesanteur, le champ de température, l'indice de l'atmosphère et l'activité sismique.

Partie I - Le ressort, couteau-suisse de la physique

I. 1 - Mesures du champ de pesanteur de la planète

Pour déterminer le champ de pesanteur localement, les géophysiciens disposent d'instruments appelés gravimètres dont le premier utilisé historiquement a été un pendule. On considère un pendule simple : une masse

m

ponctuelle est fixée à une extrémité d'un fil sans masse et inextensible de longueur

ℓ

dont l'autre extrémité est fixée à un point fixe O (figure 1).

Soit z l'altitude de la masse

m

par rapport au niveau du sol. La planète est assimilée à une sphère de rayon

R_p

et de masse homogène

M_p

. On considère dans toute la suite

z≪R_p

Q1.a) Montrer que l'intensité de la force de gravitation se met sous la forme $F_(grav) ≃ mg_o(1 - (2z)/(R_p))$ , avec $g_o$ à exprimer en fonction de $M_p, R_p$ et de la constante universelle de gravitation $G$ .
- b)Calculer l'altitude maximale pour que la variation relative de l'intensité de cette force reste inférieure à 1 %. On donne $R_p = 4000 km$ . Commenter.

Figure 1 - Pendule simple

On suppose le référentiel lié à la surface du sol comme galiléen. La masse

m

est alors soumise à deux forces : celle due au champ de gravitation

F⃗ = mg⃗_o

supposée constante et uniforme et celle due à la tension du fil

T⃗

. On note

θ

l'angle entre le pendule oscillant et l'axe vertical

u⃗_z

(figure 1).

Q2.Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $θ(t)$ . Indiquer comment mesurer la valeur de l'intensité du champ de gravitation $g_o$ grâce à un chronomètre.

On prend en compte maintenant la rotation de la planète sur elle-même (figure 2).

Figure 2 - Rotation de la planète sur elle-même

Q3.Écrire la force d'inertie d'entraînement $F⃗_(ie)$ , s'exerçant sur un corps ponctuel au repos relatif par rapport au référentiel lié au sol, de masse $m$ situé à une distance $R_p$ du centre de la planète en fonction de $m, R_p, Ω$ la vitesse angulaire de rotation de la planète sur elle-même, $λ$ la latitude par rapport au plan équatorial et de $u⃗$ le vecteur unitaire perpendiculaire à l'axe de rotation (figure 2).

On rappelle que le poids d'un objet est égal à la somme de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement.

Q4.a) Exprimer le champ de pesanteur $g⃗$ en fonction de $g⃗_o, R_p, Ω, λ$ et de $u⃗$ .
- b)Donner la condition sur $R_p, Ω, M_p$ et $G$ pour laquelle on peut considérer que $g ≃ g_o$ à toute latitude.

Major Tom a ici à sa disposition un ressort à spires jointives de raideur

k

, de longueur à vide

ℓ_o

et de masse

m_o

, suspendu verticalement par l'une de ses extrémités, en un lieu où l'accélération de la pesanteur a une norme

g

uniforme. À l'autre extrémité, on accroche une masse quasi ponctuelle

m

. Le ressort s'allonge de la quantité

h

On donne :

k = 50, 0 N \cdot m^(- 1); ℓ_0 = 0, 100 m

.
On néglige la masse

m_o

par rapport à

m

.
Q5. Exprimer la norme

g

du champ de pesanteur en fonction de

h, k

et de

m

.
Q6. Application numérique : pour

m = 0, 200 kg

, Major Tom mesure

h = 2, 0 cm

. Déterminer

g

et estimer son incertitude-type relative.

À partir de cette position d'équilibre prise comme origine, on écarte verticalement la masse

m

d'une quantité

x_o

vers le bas et on la lâche sans vitesse initiale à l'instant

t = 0

Q7. Écrire l'équation différentielle du mouvement de la masse

m

.
Q8. Résoudre cette équation et identifier la pulsation propre

ω_o

en fonction des paramètres du modèle.

Q9. a) Exprimer

g

en fonction de

h

et de

ω_O

b)Application numérique : pour $h = 2, 0 cm$ , Major Tom compte $N = 10$ allers-retours en $T_(10) = 4 s$ . Calculer $g$ . Commenter.

Pour avoir une mesure plus fine de l'intensité de la pesanteur, il faut prendre en compte la masse

m_o

du ressort dont le mouvement est proche de la déformation statique ; l'extrémité se déplaçant de

x_o > 0

, tout point d'abscisse

τ

du ressort entre 0 et la longueur totale du ressort

ℓ

se déplace de

ξ(t, τ) = (τ/ℓ)x_o cos(Γt)

avec

τ/ℓ

très lentement variable sur une durée

T = (2π)/Γ

. Par exemple, pour

τ = ℓ

, le point considéré est l'extrémité inférieure du ressort.

On s'intéresse au ressort nu, sans la masse

m

accrochée à son extrémité.
Q10. a) Un élément de masse

δm = ((dτ)/ℓ)m_o

, à l'abscisse

τ

, a une énergie cinétique égale à

dE_c = 1/2δm((dξ)/(dt))^2

Déterminer l'énergie cinétique du ressort nu en fonction de

x_o, Γ, m_o

et de

t

b)En déduire l'expression de l'énergie cinétique maximale au cours du mouvement en fonction de $m_o, x_o$ et de $Γ$ .

Q11. En utilisant la conservation de l'énergie totale de l'ensemble {ressort pesant + masse}, vérifier que la pulsation propre

Γ

se met sous la forme

Γ = (ω_0)/(\sqrt(1 + β))

avec

β

à exprimer en fonction de

m

et de

m_o

Q12. En supposant que l'expression de la loi de la force de rappel (loi de Hooke) reste inchangée, réécrire

g

en fonction de

ω_O, h

et de

β

Q13. Recalculer

g

pour

m_o = m/(10)

. Commenter.
À peine rentré dans son laboratoire de fortune, la planète se met à trembler ! Vif d'esprit, Major Tom mesure ces vibrations grâce à son ressort transformé en ... sismomètre !

I. 2 - Que tremble la planète !

À la suite du déplacement des plaques tectoniques, différentes ondes mécaniques se propagent à partir d'un épicentre (point source des ondes). On considère une onde plane progressive sinusoïdale

s(z, t)

se propageant en volume selon la direction (Oz), analogue à une onde lumineuse dans le vide ; les ondes sismiques vérifient l'équation de D'Alembert.
L'équation de propagation de cette onde s'écrit :

1/(c_s^2)(\partial^2 s_-)/(\partialt^2) = (\partial^2 s_-)/(\partialz^2)

, avec

c_s

une constante réelle positive.

Q14. a) Rappeler les définitions d'une onde longitudinale et d'une onde transversale. Citer un exemple de chacune de ces ondes.

b)Préciser la signification de $c_s$ .

Une onde harmonique se propageant s'écrit en notation complexe :

s_-(z, t) = S_o e^(ı(ωt - kz))

, avec

S_o

son amplitude,

ω

sa pulsation et

k

la norme de son vecteur d'onde.

Q15. a) Indiquer la direction et le sens de propagation de l'onde.

b)Établir la relation de dispersion, reliant $ω$ et $k$ .

Une modélisation plus approfondie de la propagation de l'onde permet d'écrire :

1/(c_s^2)(\partial^2 s_-)/(\partialt^2) + η(\partials_-)/(\partialt) = (\partial^2 s_-)/(\partialz^2)

avec

η

une constante réelle positive.

Q16. a) Déterminer la relation reliant

ω, k, c_s

η

On se place dans le cas où

ω/(c_s^2)≫η

b)En développant à l'ordre un en $(ηc_s^2)/ω$ et en écrivant $k = k_r + ık_i$ , exprimer $k_r = ℜ𝔢(k)$ et $k_i = 𝔍𝔪(k)$ en fonction de $ω, c_s$ et de $η$ .
c)Écrire la représentation réelle de l'onde sous la forme $s(z, t) = S_0 cos(ωt - az)e^(- z/b)$ avec $a$ et $b$ à exprimer en fonction de $ω, c_s$ et de $η$ .
d)Préciser la signification de $b$ . Tracer, à $t$ fixé, l'allure de la courbe $[z \mapsto S_0 cos(ωt - az)e^(- z/b)]$ en faisant apparaître $a, b$ et $S_0$ .

On modélise le sismomètre (figure 3) par :

-un solide de masse $M$ (une autre !) suspendu à un ressort, dont l'autre extrémité est liée à un bâti rigide $R_b$ solidaire du sol en vibration ;
-le ressort de masse négligeable devant cette nouvelle masse $M$ , de constante de raideur $k$ , de longueur à vide $ℓ_0$ ;
-un amortisseur relié au bâti, exerçant sur le solide une action mécanique modélisée par la force de frottement fluide dans le référentiel lié au bâti $R_b : F⃗ = - αv⃗$ , avec $α$ une constante positive.

Figure 3 - Sismomètre

Au passage de l'onde sismique, le bâti du sismomètre subit une accélération par rapport au référentiel de la planète, supposé galiléen, notée :

A⃗ = (d^2 X)/(dt^2)e⃗_X = X¨(t)e⃗_X

On se place dans le référentiel lié au bâti

R_b

. Le mouvement du centre de gravité du solide de masse

M

par rapport à sa position d'équilibre relatif

ℓ_(eq)

est repéré par la distance

u(t) = ℓ - ℓ_(eq)

Q17. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par

u(t)

se met sous la forme :

u¨ + ((Ω_0)/Q)u˙ + Ω_0^2 u = - X¨

avec

Q

Ω_0

à déterminer en fonction de

α, k

et de

M

On admet que le mouvement du sol en notation complexe s'écrit en régime sinusoïdal forcé de pulsation

ω : X_-(t) = Ae^(ıωt)

avec

A

une constante réelle positive.

u_-(t)

se met sous la forme

u_- = Be^(ı(ωt + φ))

avec

B

une constante réelle positive.
Q18. Préciser la signification de

A

, de

B

et de

φ

. On ne demande pas ici leur expression.
Q19. Déterminer l'expression de la fonction de transfert

H(ω) = |(u_-)/(X_-)|

en fonction de

Ω_o, ω

et de

Q

Major Tom a exécuté deux scripts (figures 4 et 5) en Python afin d'obtenir la fonction de transfert

H

et le gain en décibel

G_(dB)

(figures 6 et 7).

#Script 1
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def g(x, Q):
    return x**2 / np.sqrt((1-x**2)**2 + (x/Q)**2)
x = np.linspace(0, 3, 1000)
Q = # Valeur choisie de Q - VALEUR NUMÉRIQUE NON FOURNIE ICI
y = g(x, Q)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('g(x)')
plt.title('Graphique de g(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
extremum_index = np.argmax(y)
extremum_x = x[extremum_index]
extremum_y = y[extremum_index]

Figure 4 - Script 1 : définition de la fonction g

#Script 2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Définition des paramètres du filtre
f0 = # Fréquence de coupure - VALEUR NUMÉRIQUE NON FOURNIE ICI
Q = # Facteur de qualité - VALEUR NUMÉRIQUE NON FOURNIE ICI
# Calcul des coefficients du filtre
omega0 = À COMPLÉTER
alpha = À COMPLÉTER
# Définition de la plage de fréquences
frequencies = np.logspace(0, 5, num=1000)
# Calcul du gain en décibel
gain_db = À COMPLÉTER
# Tracé du diagramme de Bode
plt.figure()
plt.semilogx(frequencies, gain_db)
plt.axvline(f0, color='r', linestyle='--')
plt.text(f0, -40, 'f0', color='r')
plt.xlabel('Fréquence (Hz)')
plt.ylabel('Gain (dB)')
plt.title('Diagramme de Bode en Gain')
plt.grid(True)
plt.show()

Figure 5 - Script 2 : définition du gain en décibel

Q20. Compléter sur votre copie les lignes 11, 12 et 18 du script 2 (figure 5).

Figure 6 - Compilation du script 1 : représentation graphique de la fonction g

Q21.a) Déterminer les expressions asymptotiques de $H$ en haute et basse fréquences.
- b)En déduire les expressions des droites asymptotiques du gain $G_(dB)$ en décibels en fonction de $log(f/(f_o))$ .
- c)Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux asymptotes.
- d)Déterminer la nature du filtre ainsi que son ordre.
- e)Calculer la pulsation de résonance $é ω_(rés)$ .
- f)Déterminer numériquement $Q$ et estimer $α$ proposé par Major Tom.

Figure 7 - Compilation du script 2 : représentation graphique du gain en décibels

I. 3 - Température de l'atmosphère

Toujours muni d'un ressort, Major Tom souhaite déterminer une façon de mesurer la température de l'atmosphère.

Figure 8 - Ressort horizontal

On considère un système masse-ressort horizontal, représenté sur la figure 8, en position étirée. On suppose que le déplacement de la masse sur le support horizontal se fait sans frottements.

On définit toujours :

- $ℓ_o$ la longueur à vide du ressort,
- $ℓ$ la longueur du ressort,
- $m$ la masse accrochée à l'extrémité du ressort,
- $F⃗$ la force de rappel exercée par le ressort sur la masse $m$ .

On considère

n

moles de gaz parfait dont la variation infinitésimale d'entropie

dS

s'écrit en fonction de la pression

P

, la température

T

, le volume

V

, la constante des gaz parfaits

R

et du coefficient adiabatique

γ = 1, 4 : dS(T, V) = (nR)/(γ - 1)(dT)/T + P/TdV

Q22. a) Préciser combien vaut

dS

pour une transformation adiabatique réversible.

b)Montrer que pour une telle transformation, on obtient : $(dT)/T + (γ - 1)(dV)/V = 0$ .
c)En déduire la relation entre volume et température pour une telle transformation et préciser sous quel nom est connue cette loi.

Les mesures effectuées par Major Tom sur un système masse-ressort lui ont permis préalablement de mettre en évidence la dépendance en température des paramètres suivants :

- $k$ décroit de façon affine avec la température: $k(T) = k_o - DT$ , avec $k_o$ et $D$ des constantes réelles positives,
- $ℓ_o$ est indépendante de $T$ .

Ainsi, la variation infinitésimale d'entropie

dS

du ressort s'écrit :

dS(T, ℓ) = C_ℓ(dT)/T + D(ℓ - ℓ_o)dℓ

avec

C_ℓ

une grandeur positive indépendante de la température.

On raisonnera par analogie avec le gaz parfait précédent.
Q23. a) Donner la signification physique de

C_ℓ

b)De façon isentropique, le système passe de $(T_i, ℓ_i)$ à $(T_f, ℓ_f)$ . Exprimer $T_f$ en fonction de $T_i, ℓ_i, ℓ_f, C_ℓ$ et de $D$ .
c)Proposer à Major Tom un protocole pour mesurer la température compte tenu du résultat précédent.

Partie II - Interaction lumière-matière

Major Tom se prépare à analyser des échantillons par spectroscopie, une technique de caractérisation de la matière grâce à son interaction avec un rayonnement.

II. 1 - Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement

Dans le cadre de la théorie atomique, l'atome peut être décrit par le modèle de Thomson, également connu sous le nom de modèle du "pudding aux raisins". Ce modèle postule que l'atome est sphérique de centre O et constitué d'une "soupe" de charges positives dans laquelle sont dispersés des électrons, semblables à des raisins dans un pudding.

Un électron est soumis à deux forces :

-une force de rappel $f⃗_r = - κOM^(\to-) = - κr⃗$ ,
-et une force de frottement fluide, proportionnelle à la vitesse $v⃗$ de l'électron : $f⃗_f = - αv⃗$ , avec $α$ constante positive.

Q24. Motiver le choix de ne pas considérer la dynamique du noyau chargé positivement.
On s'intéresse à l'origine de la force de rappel.

Q25.a) On considère une boule de rayon $R_O$ , de charge $Q_O$ chargée uniformément en volume. Elle crée un champ électrique $E⃗$ en un point M situé à une distance $r$ du centre. Justifier la dépendance et la direction du champ électrique en coordonnées sphériques.
- b)Exprimer le champ électrique $E⃗$ pour un point M à l'intérieur de la distribution en fonction de $Q_0, R_0, ε_0$ et de $r$ .
- c)Identifier ce que modélise la force de rappel. Préciser l'expression de $κ$ .

On s'intéresse à un milieu matériel, peu dense. Lorsqu'un rayonnement se propage dans un milieu isolant (diélectrique), électriquement neutre, son champ électromagnétique interagit avec les électrons (de charge

- e

, de masse

m

) des atomes du milieu. L'étude de cette interaction permet de caractériser ce milieu par une grandeur macroscopique, appelée constante diélectrique relative

ε_r \in ℂ

Dans un tel milieu, les équations de Maxwell s'écrivent :

div(B⃗_-) = 0, div(E⃗_-) = 0, rot^(\to-)(E⃗_-) = - (\partialB_-\to)/(\partialt), rot^(\to-)(B⃗_-) = μ_0 ε_0 ε_r(\partialE_-\to)/(\partialt).

Q26. Comparer ces équations de Maxwell à celles dans le vide.
Le rayonnement incident est décrit par une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée rectilignement dont le champ électrique s'écrit en notation complexe :

E_-\to = E_0 e^(ı(ωt - kz))u⃗_x

avec

E_0 \in ℝ, k \in ℂ

(u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z)

formant une base orthonormée directe.

Q27.Indiquer la direction de propagation de l'onde, son vecteur d'onde $k⃗$ et sa direction de polarisation.
Q28.Montrer que le champ électrique est transverse.
Q29.Exprimer le champ magnétique de l'onde lumineuse en fonction de $E_-\to, k⃗$ et de $ω$ . Montrer qu'il est également transverse.

En plus des deux forces

f⃗_r

f⃗_f

précédemment citées, un électron considéré est soumis à la force de Lorentz du champ électromagnétique du rayonnement :

f⃗_(em) = q_e(E⃗ + v⃗ \land B⃗)

Q30. Préciser les conditions pour que la force magnétique du rayonnement soit négligeable devant la force électrique. On considèrera cette condition respectée dans la suite.

Q31. Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome et montrer que, pour une radiation dans l'UV (longueur d'onde du rayonnement de l'ordre de 200 nm), le champ électrique est uniforme à l'échelle atomique.

Q32. Déterminer l'équation différentielle du mouvement de l'électron vérifiée par

r⃗(t)

.
Q33. En se plaçant en régime sinusoïdal forcé de pulsation

ω

, montrer que la représentation complexe du déplacement de l'électron se met sous la forme

r⃗_- = ((- e)/m)/(ω_O^2 - ω^2 + ı(ωω_O)/Q)E_-\to

avec

ω_O

Q

à exprimer en fonction de

κ, m

et de

α

L'expression précédente permet d'obtenir la constante diélectrique relative complexe

ε_r

ε_r = (1 + (Ω^2(ω_0^2 - ω^2))/((ω_0^2 - ω^2)^2 + ((ωω_0)/Q)^2)) - ı((Ω^2(ωω_0)/Q)/((ω_0^2 - ω^2)^2 + ((ωω_0)/Q)^2)) = ε_1 - ıε_2

avec

Ω

caractérisant le milieu,

ε_1

ε_2

trois réels positifs.

II. 2 - Solution des équations de Maxwell et aspect énergétique

Le champ électrique complexe s'écrit

E⃗ = E_0 e^(l(ωt - kz))u⃗_x

et vérifie l'équation de propagation :

ΔE_-\to = (ε_r)/(c^2)(\partial^2 E_-\to)/(\partialt^2)

avec

c = 1/(\sqrt(μ_o ε_o))

μ_o

la perméabilité du vide.

Q34. En déduire la relation de dispersion reliant

k^2, ω, c

ε_r

.
On pose

k(ω) = k_1(ω) - ık_2(ω)

où

k_1

k_2

sont des fonctions réelles.
Q35. Établir le lien entre

k_1(ω), k_2(ω)

ε_1(ω), ε_2(ω)

sans chercher leurs expressions explicites.
Q36. Réécrire le champ électrique réel

E⃗

en fonction de

E_0, ω, t, k_1, k_2, z

et d'un vecteur unitaire de base.

Q37. Préciser la signification de

δ = 1/(k_2)

Q38.Dans l'hypothèse où la matière est peu absorbante, exprimer $k_1$ et $k_2$ en fonction de $c, ω, ε_1(ω)$ et de $ε_2(ω)$ .
Q39.Définir la vitesse de phase et l'exprimer en fonction de $c$ et de $ε_1(ω)$ . Le milieu est-il dispersif ?
Q40.Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting $⟨Π⃗⟩$ en fonction de $k_1(ω), k_2(ω), z, ω, E_o, μ_o$ et d'un vecteur unitaire de base.

On définit l'absorbance

A

comme la capacité d'un milieu à absorber le rayonnement qui le traverse. Sur une longueur

L

de chemin traversé,

A_L = - log_(10)((⟨‖Π⃗(z + L)‖⟩)/(⟨‖Π⃗(z)‖⟩))

Q41.Montrer qu'à pulsation $ω$ fixée, $A_L$ est proportionnelle à $k_2$ .
Q42.Déduire l'information que Major Tom pourrait extraire de l'absorbance.

Partie III - Mesure optique et spectroscopie

III. 1 - Spectroscopie Ultra-Violette/Visible (UV/Vis)

Un échantillon liquide a pu être récupéré et Major Tom souhaite le caractériser en spectroscopie UV/Vis.

On considère une particule quantique de masse

m

, d'énergie

E > 0

dont l'espace accessible est un segment de longueur

a

Sur cet intervalle, l'énergie potentielle de la particule est nulle :

\forallx \in ]0, a[, V(x) = 0

.
La fonction d'onde

Ψ(x, t)

associée à un état stationnaire de la particule s'écrit sous la forme du produit d'une fonction

χ(t) = e^(- t(Et)/ℏ)

du temps par une fonction

φ

de l'espace:

Ψ(x, t) = φ(x)e^(- t(Et)/ℏ)

La fonction

φ

vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire :

- (ℏ^2)/(2m)(d^2 φ)/(dx^2) + V(x)φ(x) = Eφ(x)

Q43.Définir un état stationnaire en physique quantique.
Q44.Rappeler l'équation de Schrödinger dépendante du temps.
Q45.Pour $x \in ]0, a[$ , écrire la forme générale des solutions $φ(x)$ . On pose $κ^2 = (2mE)/(ℏ^2)$ .
Q46.En écrivant les conditions limites de la fonction d'onde en $x = 0$ et $x = a$ , en déduire l'expression des énergies. Écrire en particulier l'énergie de l'état fondamental $E_1$ et exprimer l'énergie d'un état excité $E_n$ pour $n \in ℕ^*$ en fonction de $n$ et de $E_1$ .

Major Tom veut vérifier l'étalonnage de son spectrophotomètre par absorption. Pour cela, il utilise le spectre d'absorption de la molécule but-1,3-diène, représentée à la figure 9, dont le squelette carboné est linéaire.

CH_2 = - - CH = - - CH = - CH_2

Figure 9 - Représentation de la molécule but-1,3-diène

Le modèle des électrons dans un puits de potentiel infini correspond aux électrons libres de se déplacer d'une extrémité à l'autre, du premier carbone à gauche jusqu'au dernier à droite.

Q47.a) En notant $d_(cc)$ la distance moyenne entre deux carbones, écrire l'expression de a en fonction de $d_(CC)$ .

On admet que, pour une molécule constituée d'un nombre

N

pair d'atomes de carbone,

N/2

niveaux d'énergie sont occupés (en partant du niveau le plus bas) et qu'une transition électronique a lieu entre le dernier niveau occupé (HOMO) et le premier niveau vide (LUMO).

- b)Établir la relation entre la longueur d'onde $λ$ associée à la transition et la distance entre deux atomes de carbone $d_(CC)$ .
- c)Application numérique : pour $d_(cc) ≃ 10^(- 10) m$ , déterminer l'ordre de grandeur de $λ$ qui sert de référence à Major Tom.

III. 2 - Interféromètre d'Young : mesure de l'indice optique

Pour mesurer l'indice optique de l'atmosphère de sa planète, Major Tom dispose d'un interféromètre constitué de fentes diaphragmes équidistantes (distance

a

) : l'interféromètre des fentes d'Young (figure 10). La source

S

est ponctuelle, monochromatique de longueur d'onde dans le vide

λ = 600 nm

et située au foyer principal objet

F_1

de la lentille d'entrée

(L_1)

. Les deux lentilles ont même distance focale

f_1^'

. Les cuves

C_1

C_2

sont transparentes, identiques, de même longueur intérieure

ℓ = 20, 0 cm

Figure 10 - Montage interférentiel

C_1

contient le gaz de l'atmosphère à la pression atmosphérique et

C_2

est initialement remplie de ce même gaz à la pression atmosphérique. L'écran est placé dans le plan focal image de la seconde lentille.

Q48. Expliquer l'intérêt de placer la source

S

dans le plan focal objet de la première lentille.
Q49. Déterminer la différence de marche en un point

M(x, y, z = 0)

(figure 10) sur l'écran en fonction de a la distance entre les fentes,

x

f_1^'

. On se placera dans les conditions de Gauss.

Q50. Identifier la position initiale de la frange d'ordre d'interférence nul.
On vide progressivement la cuve

C_2

.
Q51. a) Lorsque la pression dans

C_2

est considérée comme nulle, déterminer la position sur l'écran de la frange d'ordre nul.

Un capteur, placé au niveau de l'axe optique sur l'écran, a détecté le passage de

N = 100

franges brillantes pendant toute la phase pendant laquelle on vide la cuve

C_2

, avec une intensité lumineuse maximale à l'état final.

b)Déterminer l'expression de l'indice $n_(gaz)$ du gaz de l'atmosphère à la pression atmosphérique et la valeur numérique déterminée par Major Tom.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique CCINP MP 2026 ?

Il couvre la mécanique du point et les référentiels non galiléens, le filtrage, la thermodynamique, l'électromagnétisme dans les milieux, la mécanique quantique (puits infini) et les interférences de Young.

Quelles erreurs le jury CCINP physique MP 2026 a-t-il le plus relevées ?

Des erreurs de signe (force d'inertie, champ de gravitation), des définitions de cours imprécises (ondes transversales, état stationnaire) et la confusion entre vitesse de phase et vitesse de groupe. L'incertitude-type relative de Q6 est très rarement correcte.

Quelles questions du sujet CCINP physique MP 2026 ont été peu traitées ?

Selon le jury, Q11 à Q13, Q42, Q51 et Q52 n'ont pas été abordées, Q47 a été très rarement traitée et Q20 a obtenu peu de bonnes réponses.

Les parties du sujet de physique CCINP MP 2026 sont-elles indépendantes ?

Oui, le sujet comporte trois parties totalement indépendantes, ce qui permet de commencer par celle que l'on maîtrise le mieux.

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