CCINP Physique 2 PC 2001Sujet

DURÉE: 4 heures
L'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont indépendants

Le transformateur étudié sert à déclencher la conduction des thyristors dans les montages d'électronique de puissance.

Le primaire et le secondaire ont chacun le même nombre de spires N. Les caractéristiques de chaque enroulement, inductance propre et résistance, sont L = 2mH et r = 1, 2 mΩ.

Pour deux bobines couplées, si les courants i_1 et i_2 ont le même sens par rapport aux bornes marquées (bornes homologues - figure 1), l'inductance mutuelle L_(12) est positive.

On note |L_(12)| = |L_(21)| = M.

Le couplage entre les enroulements est parfait, c'est-à-dire L = M (M étant l'inductance mutuelle).
Le noyau du transformateur est en ferrite dont on idéalisera la caractéristique d'aimantation par la courbe donnée sur la figure 2.

φ(t) représente le flux magnétique à travers une section droite du circuit magnétique.
Les inductances propres L et mutuelle M ne sont définies qu'en dehors de la zone de saturation.

Les notations sont définies sur la figure 3.

V est une tension positive fixe et l'interrupteur k est réalisé par un transistor bipolaire.
I.1.1 A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur k . Exprimer la tension u_P(t) et le courant i_P(t), en déduire le flux φ(t) et la tension secondaire u_s(t) en fonction de V et des caractéristiques du transformateur. On négligera pour cette étude la résistance de l'enroulement et on considérera qu'à t = 0, i_p = i_s = 0 (conditions initiales).
I.1.2 Le flux croît alors jusqu'à saturation du circuit magnétique.

Exprimer le produit (V. t_(max) ) en fonction de φ_(sat). Le fabricant donne V. t_(max) = 400 V.μs. En déduire la valeur de t_(max) pour V = 10 V et calculer la valeur de i_(pmax) qui correspond à t_(max).
I.1.3 On veut prévoir ce qui se passerait si l'interrupteur k restait fermé au-delà de t_(max). Quelle serait alors la valeur de u_s ?
Montrer qu'il est nécessaire de tenir compte de r pour calculer i_P; quelle est la valeur de i_P ?
I.1.4 A l'instant t_1 = t_(max), on ouvre l'interrupteur k . La diode D a une tension de seuil V_s = 0, 8 V et une résistance interne négligeable (figure 4).

Donner le schéma équivalent du circuit qui permet de calculer i_P(t) pour t ≥ t_1 (on prend en considération la résistance de l'enroulement).
I.1.5. Ecrire la loi des mailles dans ce circuit. En déduire l'expression de i_P(t) pour t ≥ t_1.
I.1.6 A l'instant t_2 le courant i_P s'annule. Donner l'expression de t_d = t_2 − t_1. Calculer la valeur numérique de t_d.
I.1.7 On ajoute une diode zener en série avec D , ce qui a pour effet d'augmenter le seuil de conduction à la valeur (V_S + V_Z). Calculer t_d pour V_Z = 6, 8V. Conclure.
I.1.8 Dans ce cas, calculer u_s(t) et représenter pour t ∈ [0, 100μs] l'allure des courbes i_p(t), u_p(t) et u_s(t).

Le montage à étudier est donné dans la figure 5 .

D_1 est une diode de commutation idéale. A t = 0, on ferme l'interrupteur k .
I.2.1 Ecrire la loi des mailles pour le primaire et le secondaire du transformateur avec i_p(0 −) = i_s(0 −) = 0
I.2.2 Le flux magnétique φ étant une fonction continue de t , montrer que i_p(0 +) = i_s(0 +). Déterminer i_p(0 +) en utilisant les équations de I.2.1.
I.2.3 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par i_p(t).
I.2.4 On note τ = 1/r((Mr)/(r + R) + L). En déduire i_p(t) et i_s(t).
I.2.5 Exprimer u_s(t). Calculer u_s(t) pour t = t_1 = 40μ s. Conclure.
I.2.6 L'interrupteur k est ouvert à l'instant t_1; expliquer le rôle de la diode D_1 pour t ≥ t_1, en s'appuyant sur le résultat de la question I.1.8 concernant u_s.

Le développement des communications avec des fibres optiques confère aux guides diélectriques une importance croissante.

Le guide d'onde diélectrique plan est beaucoup utilisé en optoélectronique pour réaliser des coupleurs, des circuits résonants, etc.

Les guides diélectriques sont des guides ouverts, pour lesquels la propagation des ondes électromagnétiques monochromatiques a lieu pour une fréquence supérieure à une fréquence de seuil.

A l'extérieur du guide plan a lieu la propagation d'une onde de surface, à distribution exponentielle dans une section transversale, onde qui se concentre à la surface de séparation des milieux au fur et à mesure que la fréquence augmente.

Les nombres d'onde critiques sont fonction de la fréquence de travail.
Toutes ces propriétés seront illustrées dans ce qui suit.
On considère une plaque diélectrique dans l'espace vide (figure 1).

La composante E_Z du champ électrique E⃗ = E_y u⃗_y + E_z u⃗_z d'une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω se propageant dans la direction u⃗_z s'écrit généralement sous la forme
E_z(y, z, t) = E_z(y)e^(− αz)cos(ωt − βz) = Réel{E_z(y)e^(− (α + jβ)z)e^(jωt)}
On note γ_– = α + jβ avec α > 0 et β > 0
χ = constante de propagation
α = constante d'atténuation
β = constante de phase
et E_–_z = E_z(y)e^(− γz) est l'image complexe de E_Z(y, z, t)
Pour une onde non atténuée χ = jβ(α = 0).
II. 1 A partir des équations de Maxwell, déterminer l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ électrique E⃗ et montrer que l'équation différentielle satisfaite par E_–_Z dans le domaine (1) s'écrit
(d^2 E_–_(z1))/(dy^2) + k_1^2 E_–_(z1) = 0 k_1 = nombre d'onde critique
Expliciter k_1^2 en fonction de γ, ω, ε, μ_0.
II. 2 Déterminer E_–_(z1) en fonction de deux constantes A_1 et A_2 en considérant k_1^2 > 0.
II. 3 Justifier sans calcul que E_–_(z2)(y) et E_–_(z3)(y) satisfont chacune à une équation différentielle analogue à E_–_(z1)(y) où k_1 est remplacé respectivement par k_2 et par k_3.
On choisit k_2 = k_3 = jK avec K > 0.
Déterminer les expressions de E_–_(z2)(y) pour y > a (domaine 2 ) en fonction d'une constante A_2 et de E_–_(z3)(y) pour y < 0 (domaine 3 ) en fonction d'une constante A_3.
Justifier le choix de k_2 et k_3.
II. 4 En considérant les expressions de rot^(→−)E⃗ et rot^(→−)B⃗, avec B⃗ = B_x u⃗_x, déterminer E_–_(y1), B_–_(x1); E_–_(y2), B_–_(x2); E_–_(y3), B_–_(x3), images complexes des composantes du champ électrique E⃗ et du champ magnétique B⃗. On considère les ondes non atténuées suivant u⃗_z, donc ∂/(∂z) → − jβ. On conservera A_1, A_2, A_3, A_4, k_1 et K comme paramètres de l'onde de pulsation ω.
II. 5 Ecrire les conditions de passage en y = a et y = 0 pour les composantes E_z et E_y du champ électrique.
II. 6 De la question II.5, déduire le système linéaire vérifié par A_1 et A_3. Montrer que pour obtenir des valeurs non nulles pour A_1 et A_3, il est nécessaire que les nombres critiques satisfassent la relation :

on posera tgφ = − (k_1)/(Kε_r)
II. 7 On note {k_1 a = qπ; Ka = rπ

Montrer que q et r doivent satisfaire le système :

où λ_0 = (c_0)/f avec c_0^2 = 1/(ε_0 μ_0)
λ_0 = longueur d'onde dans le vide d'une onde plane monochromatique de fréquence f .
II. 8 Pour q = n (entier impair > 0 ), déterminer la valeur de r et en déduire la plus petite fréquence f_s et la plus grande longueur d'onde λ_(0s) pouvant encore se propager dans le guide, en précisant pour quelle valeur de n elles sont obtenues.
II. 9 Si on note λ_(0d) = (λ_0)/(√(ε_r)), montrer que la longueur d'onde λ_g = (2π)/β d'une onde non atténuée se propageant dans le guide, pour f > f_s, s'écrit :

II. 10 Utilisant les questions antérieures (II.5, II.6, II.7), déterminer les composantes de E_– et de B_– dans les trois domaines, en fonction de la constante que multiplie sin k_1 y dans l'expression de E_(zl), de r, q, λ_0, c_0, ε_r.
II. 11 Que deviennent ces composantes pour r = 1 et f = f_s ? Quels types d'ondes se forment dans les domaines (2) et (3) ?