BCE Maths approfondies HEC ECS 2017

Epreuve de maths approfondies - ECS 2017

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Polynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2017.

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cfc3c626-f9e0-4b4b-ae61-fb2f659c82ef

Conception : HEC Paris

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème :

pour tout entier naturel , on note l'espace vectoriel des polynômes à cœfficients réels de degré inférieur ou égal à ;
on identifie le polynôme de avec la fonction polynomiale , avec la convention ;
on rappelle la formule de Stirling : ! est équivalent à lorsque l'entier tend vers .

Le problème a pour objet l'approximation d'une fonction réelle par des fonctions polynomiales.
Dans la partie I, on étudie le cas des polynômes de Bernstein. Les parties II et III sont consacrées aux polynômes d'interpolation de Lagrange.
Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Quelques propriétés des polynômes de Bernstein

Pour tout entier

et tout entier

, on note

le polynôme de

défini par :

On pose pour tout

et on note

la base canonique de

.
Soit

l'application définie sur

telle que :

Dans cette question uniquement, on choisit .
a) Déterminer la matrice de la famille ( ) dans la base .
b) En déduire que la famille ( ) est une base de .
c) Calculer et ; déterminer la matrice de dans la base . Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
On revient au cas général où est un entier supérieur ou égal à 1.
a) Montrer que la famille ( ) est libre; en déduire que cette famille est une base de .
b) Montrer que l'application est un automorphisme de .
c) Calculer et montrer que .
d) Montrer que pour tout , le degré du polynôme est égal à .

Pour établir ce résultat, on pourra utiliser la propriété suivante que l'on ne demande pas de démontrer :

où

est le polynôme dérivé de

.
e) Pour tout

, soit

le cœfficient de

du polynôme

. Calculer

en fonction de

. L'automorphisme

est-il diagonalisable?
3. Soit

une fonction continue sur [ 0,1 ]. On pose:

Soit

. Soit

un espace probabilisé et pour tout

, soit

une variable aléatoire définie sur cet espace suivant la loi binomiale de paramètres

. Pour tout

, on pose:

.
a) Montrer que la suite de variables aléatoires

converge en probabilité vers le réel

.
b) Justifier l'existence de

.
c) Soit

un réel strictement positif. Pour tout

, soit

l'événement :

On note

la variable indicatrice de l'événement

l'événement contraire de

. Établir l'inégalité :

.
d) Montrer que

. En déduire que

.
4.a) Compléter le code Scilab suivant afin qu'un appel à la fonction binom (

) renvoie une réalisation d'une loí binomiale de paramètres

function Z=binom(n,z)
    Z= .........
endfunction

b) Soit une fonction Scilab

et une variable

définies par:

function }\mp@subsup{y}{}{=f}(x
    if x=m=0 then y=0, else y=-x*log(x), end
endfunction
z=0.4

On considère le code Scilab suivant :

n=100; N=1000
S=0
for k=1:N
    S=S+f(binom(n,z)/n)
end
disp(S/N)

Ce code affiche une valeur approchée d'une certaine quantité. Laquelle?
Cette valeur affichée est le résultat de la mise en œuvre de certaines méthodes. Lesquelles?

Partie II. Les polynômes d'interpolation de Lagrange

Soit et des réels deux à deux distincts. Soit l'application de dans telle que: .
a) Montrer que l'application est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
b) On note ( ) la base canonique de avec et . Pour tout , on note le polynôme de tel que .
Montrer que pour tout , on a : .
c) Soit l'application définie sur par : .

Vérifier que

est un produit scalaire sur

. On munit alors

de ce produit scalaire.
Montrer que (

) est une base orthonormée de

.
d) Expliciter la matrice

de passage de la base

à la base canonique

.
e) Soit

une fonction continue sur

à valeurs réelles.

Montrer que pour tout

, il existe un unique polynôme de

, noté

, vérifiant les relations :

On dit que

est le polynôme d'interpolation de la fonction

aux points

.
Exprimer

dans la base

.
6. Soit

des réels appartenant à un intervalle

tels que

Soit

une fonction de classe

sur

un réel de

différent de

.
On note

le polynôme d'interpolation de la fonction

aux points

le polynôme d'interpolation de la fonction

aux points

. On pose :

.
a) Établir l'existence d'un réel

tel que pour tout

, on a :

.
b) Soit

la fonction définie sur

par:

Montrer que la fonction

s'annule en les (

) points

et en déduire l'existence d'un réel

tel que

.
c) Établir l'égalité :

.
d) En déduire que pour tout

, on a :

Partie III. Exemple d'interpolation et phénomène de Runge

Dans cette partie, on suppose que l'entier

appartient à

et n'est plus fixé.
Pour tout

, on pose :

.
Pour tout réel

, on note

la fonction définie sur

telle que :

.
Pour tout

et pour tout

, on note

le polynôme d'interpolation aux points

de la fonction

.
Pour tout

, on pose :

Cette partie se propose de mettre en évidence des conditions suffisantes de convergence de la suite

vers

pour

appartenant à un intervalle

.
7.a) Justifier que la fonction

est de classe

sur

.
b) Montrer que pour tout

et pour tout

, on a :

.
c) Montrer que pour tout réel

vérifiant

, on a :

.
8. Dans cette question, on admet le résultat qui suit.

Pour tout

, soit

la fonction définie sur

par :

. Soit

un réel strictement positif.
Soit

une suite réelle. On suppose que pour tout

, la série de terme général

est convergente ; on note

sa somme.
Alors, la fonction

est de classe

sur

, on a

.
Soit

. On pose:

.
a) Déterminer les réels

pour lesquels on a :

.
b) Comparer pour tout

et pour tout

.
c) Montrer que pour tout

et pour tout

, on a :

.
d) On suppose que

. Montrer que pour tout

et pour tout

, on a :

Pour avec , soit l'entier de tel que .
a) Établir les inégalités : .
b) À l'aide de la formule de Stirling (rappelée dans le préambule du problème), montrer qu'il existe un entier tel que pour tout , on a pour tout .
c) Déduire des questions 6.d), 8.d) et 9.b) qu'une condition suffisante pour que pour tout , est : .
10.a) On pose : . À l'aide d'une intégration par parties, calculer .

Montrer que la fonction

est prolongeable par continuité en 0 . On note encore

la fonction prolongée.
b) Montrer que la fonction

réalise une bijection strictement croissante de

sur un intervalle à déterminer.
c) Montrer qu'il existe un unique réel

tel que

. Montrer que

(on donne

).
d) On note

le nombre complexe de module 1 et d'argument

le module du nombre complexe

. Vérifier que pour tout

, on a :

. Montrer alors que

.
11. La fonction Arctan est codée dans le langage Scilab par atan.

Le programme suivant renvoie une valeur approchée d'un réel

à 0.001 près.

function z=G(x); z=(1/2)*(log((1+x-2)/4))+x*(atan(1/x)); endfunction
u=0.25; v=1;
while (v-u)>0.001 do
    if G((u+v)/2)>Q then v=(u+v)/2; and
    if G((u+v)/2)<0 then u=(u+v)/2; end
    if G((u+v)/2)=x 0 then v=(u+v)/2;u=(u+v)/2; end
end
disp ((u+v)/2)

a) Quelle est la méthode mise en ceuvre dans ce programme? Donner une équation vérifiée par

.
b) Comparer

.
12. Pour tout

, on pose :

.
a) Montrer que le polynôme

divise le polynôme

.
b) Montrer que le polynôme

est pair.
c) Pour tout

, on pose :

. Exprimer

en fonction de

Trouver un équivalent de

lorsque

tend vers

, de la forme

, où

sont des réels strictement positifs que l'on déterminera.
d) On admet sans démonstration que :

Déduire de ce résultat admis et de la question 12.c), un équivalent de

lorsque

tend vers

. Dans les questions 19 et 14, on suppose que

est impair.
13.a) Montrer que

et exprimer

en fonction de

.
b) En déduire que pour tout

, on a :

.
14. On suppose que

.
a) Déterminer

.
b) En déduire que

(phénomène de Runge).

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Aperçu du contenu :

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\usepackage{amsfonts}
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\title{Conception : HEC Paris }

\author{OPTION SCIEN...

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