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BCE Maths approfondies HEC ECS 2012

Epreuve de maths approfondies - ECS 2012

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2012
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2012ECS MathématiquesMathématiques 2012

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2012.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2012

Conception : H.E.C.

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Mercredi 2 mai 2012, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Le problème a pour objet la mise en évidence de quelques propriétés de l'entropie de variables aléatoires discrètes ou à densité. La partie IV utilise dans un exemple, certaines des propriétés établies dans le problème.
On suppose que toutes les variables aléatoires introduites dans le problème sont définies sur un même espace probabilisé ( ). La notation exp désigne la fonction exponentielle.

Partie I. Quelques inégalités de concavité

  1. Soit la fonction de [ dans définie par : .
    a) Montrer que la fonction est positive et concave sur .
    b) Montrer que est prolongeable en une fonction continue sur le segment . Ce prolongement est-il de classe sur ?
    c) Tracer la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
  2. Justifier pour tout réel , l'inégalité : . Pour quelles valeurs de a-t-on ?
  3. Soit la fonction de (] dans définie par : .
Montrer que et préciser les couples de pour lesquels .
4. On considère trois fonctions et vérifiant les hypothèses suivantes:
  • est définie et de classe sur , à valeurs réelles et concave sur (on note la fonction dérivée de );
  • est définie et continue sur , à valeurs réelles;
  • est définie et continue sur , à valeurs positives ou nulles, et ;
  • les intégrales et sont convergentes.
    a) Établir pour tout couple de , l'inégalité : .
    b) Montrer pour tout réel , l'inégalité : .
    c) En déduire l'inégalité : .
  1. Soit une suite réelle et une suite de réels positifs ou nuls vérifiant , telles que les séries et soient convergentes.
    Établir l'inégalité : .

Partie II. Entropie dans le cas continu

On note l'ensemble des fonctions définies et continues sur , à valeurs strictement positives, vérifiant et telles que l'intégrale soit convergente.
Pour toute variable aléatoire ayant pour densité un élément de , on définit l'entropie de par :
  1. On note une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et sa densité continue.
    a) Justifier l'existence de l'entropie de et la calculer.
    b) Soit et une variable aléatoire qui admet pour densité un élément de . Montrer que la variable aléatoire admet une densité appartenant à et que .
    c) En déduire l'entropie d'une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance et d'écart-type .
  2. Dans cette question, on considère les couples de pour lesquels l'intégrale est convergente. On pose alors : .
    a) Montrer que .
    b) On suppose que . Établir l'égalité : .
En déduire que .

Partie III. Entropie dans le cas discret

  1. Dans cette question, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On pose pour tout de .
L'entropie de est définie par : .
S'il existe un entier de tel que , on pose par convention : .
On note la fonction de dans définie par : .
a) Calculer en tout point de (] , le gradient et la matrice hessienne de .
b) Montrer que pour l'optimisation de sous la contrainte , il existe un unique point critique que l'on précisera.
c) En utilisant la question 5 ou l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 , montrer que admet en un maximum global sous la contrainte .
d) Parmi les variables aléatoires à valeurs dans , quelle est la loi de celles qui ont la plus grande entropie ?
On note l'ensemble des suites réelles strictement positives telles que .
Soit une variable aléatoire à valeurs dans vérifiant pour tout de avec . On appelle entropie de , le réel défini sous réserve de convergence de la série , par :
  1. Soit une suite de telle que la série est convergente.
    a) Justifier l'existence d'un entier tel que, pour tout entier , on a : .
    b) Établir pour tout tel que , l'inégalité : .
    c) En déduire que pour tout , on a : .
    d) Montrer que la série est convergente.
Que peut-on en conclure sur l'entropie d'une variable aléatoire à valeurs dans possédant une espérance?
10. Soit un réel de et la suite de définie par : pour tout de .
Soit une variable aléatoire à valeurs dans qui vérifie pour tout de .
a) Reconnaître la loi de ; préciser son espérance, puis calculer son entropie.
b) Écrire une fonction Pascal d'en-tête function X (theta :real) : integer; permettant de simuler .
c) Soit une variable aléatoire à valeurs dans ayant une espérance égale à celle de . Pour tout de , on pose : . On suppose que et que la série est convergente. Établir l'égalité : .
d) Déterminer le signe de . Conclusion.

Partie IV. Entropie et taux de rendement asymptotique

  1. Soit une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, définies sur ( ), qui converge en probabilité vers une variable aléatoire .
    a) Montrer que pour tout de , l'application définie sur par est une variable aléatoire. De même, on note la variable aléatoire .
    Soit et deux réels strictement positifs.
    b) Justifier l'existence d'un réel tel que .
    c) Soit et trois éléments de . Montrer que ; en déduire l'inégalité : .
    d) Conclure.
On considère une succession de courses hippiques entre chevaux participants numérotés . Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au numéro du cheval gagnant de la -ième course.
On suppose que les variables aléatoires à valeurs dans , sont définies sur ( ), mutuellement indépendantes et de même loi. On suppose qu'il n'y a qu'un seul gagnant par course.
On pose pour tout de et pour tout de , avec .
Pour tout de , on note la cote du cheval ; ainsi, un parieur qui a misé un montant sur le cheval perdra sa mise quelle que soit l'issue de la course, mais recevra la somme si le cheval est gagnant. On suppose que les cotes sont fixes au cours du temps.
À l'occasion de la première course, un parieur dispose d'une somme monétaire qu'il souhaite répartir en totalité entre les chevaux dans les proportions respectives , où pour tout de . À l'issue de cette première course, le parieur dispose d'une somme monétaire avec .
À l'occasion de la deuxième course, ce parieur réinvestit en totalité la somme entre les chevaux dans les mêmes proportions . À l'issue de cette deuxième course, le parieur dispose d'une somme monétaire avec , et ainsi de suite...
La richesse monétaire acquise au terme de courses est donc : .
On définit pour tout de , le taux de rendement moyen des paris par : .
12. a) Justifier que est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs strictement positives et de même loi.
b) On suppose que la variable aléatoire admet une espérance et une variance . Montrer que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers une variable certaine que l'on exprimera en fonction de . Le réel est le taux de rendement asymptotique des paris.
13. La stratégie du parieur consiste à choisir les proportions qui maximiseraient .
On rappelle que les proportions sont constantes au cours du temps.
a) Montrer que : .
b) En déduire la stratégie optimale du parieur et la valeur optimale de associée à ses paris.
c) On suppose dans cette question que . Montrer que .
Dans quel cas le parieur ne dispose-t-il d'aucune stratégie lui permettant de s'assurer un taux de rendement asymptotique optimal strictement positif?

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