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BCE Maths approfondies HEC ECS 2010

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2010
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2010ECS MathématiquesMathématiques 2010

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2010.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2010

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES
Mardi 4 mai 2010, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Dans tout le problème, désigne un entier supérieur ou égal à 2 , et est muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement <, > et . Pour tous vecteurs et de , on note si pour tout de , on a : .
Le vecteur nul de est noté et le vecteur de dont toutes les composantes sont égales à 1 est noté .
On rappelle ou on admet les deux résultats suivants :
  • une partie non vide de est convexe si pour tout couple ( ) de vecteurs de et pour tout réel de , le vecteur appartient à ;
  • l'image réciproque par une fonction continue de dans d'un intervalle fermé de , est un fermé de .
On dit qu'un vecteur de sépare deux convexes et , s'il existe un réel qui vérifie, pour tous vecteurs de et de , l'encadrement : .
Si est une partie non vide et convexe de , et un vecteur de , on appelle projection de sur et on note s'il existe, tout vecteur de qui vérifie, pour tout vecteur de , c'est-à-dire tel que .

Partie I. Projection sur un convexe fermé

  1. Exemple 1. Soit le sous-ensemble de défini par : et , et un vecteur donné de n'appartenant pas à tel que et .
    a) Montrer que l'ensemble est convexe et fermé. est-il borné?
    b) Établir l'existence et l'unicité de la projection de sur . Déterminer cette projection.
    c) Faire une figure représentant le convexe , un vecteur et la projection .
    d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête distance(x1,x2 : real) : real qui à tout vecteur de n'appartenant pas à et tel que , associe le réel .
    e) Vérifier que pour tout vecteur de , on a : .
    f) Montrer qu'il existe un réel qui vérifie, pour tout vecteur de .
  2. Exemple 2. Soit un sous-espace vectoriel de , différent de et de .
    a) Montrer que est une partie convexe de . On admet qu'elle est fermée.
    b) Dans cette question, est l'ensemble des vecteurs de qui vérifient l'équation : . Soit un vecteur de n'appartenant pas à . Déterminer et le vecteur .

Cas général : soit une partie convexe, fermée et non vide de , et un vecteur de qui n'appartient pas à .

  1. Soit la fonction à valeurs réelles définie sur par : pour tout de .
    a) Justifier la continuité de la fonction .
    b) Soit un vecteur quelconque de . On considère la boule fermée de centre et de rayon . On pose : . Justifier que est une partie fermée et bornée de .
    c) En déduire que admet un minimum sur . Soit tel que .
    d) Montrer que l'inégalité est satisfaite pour tout vecteur de . Conclure.
  2. a) Vérifier pour tous vecteurs et de , l'identité : .
    b) On pose : . Soit et deux vecteurs de vérifiant .
À l'aide de la question précédente, montrer que . Conclure.
5. On rappelle que désigne la projection du vecteur sur .
a) Établir pour tout vecteur de et pour tout réel de , l'inégalité :
b) En déduire pour tout de , l'inégalité : .
c) Réciproquement, on suppose qu'il existe un vecteur de tel que pour tout vecteur de , on a : . Montrer que . Conclure.
d) Établir l'inégalité : . Montrer que sépare les ensembles et .

Partie II. Un cas particulier

Soit , des réels strictement positifs. On pose : .
6. Montrer que est un sous-ensemble convexe, fermé et borné de .
Soit un vecteur donné de n'appartenant pas à et vérifiant pour tout de , . On pose : et .
7. Soit la fonction à valeurs réelles définie sur par : .
a) Montrer que est de classe sur l'ouvert .
b) La restriction de à admet-elle des points critiques? En déduire que appartient à .
c) Montrer que les coordonnées de sont positives ou nulles, non toutes nulles.
8. On définit l'ouvert par : , et .
Soit et les fonctions à valeurs réelles définies sur par : et .
On suppose que ( ) est un point critique de .
On note et .
a) Montrer que est strictement positif et que le vecteur appartient à .
b) On pose : . Montrer que pour tout de , on a : .
c) On pose : . Montrer que .
d) Étudier la fonction définie sur . En déduire l'existence d'un unique réel vérifiant . Montrer que est strictement positif.
Expliciter les coordonnées du vecteur en fonction de et des réels et .
9. a) Établir pour tout de , l'inégalité : . En déduire que .
b) Montrer que le réel vérifie pour tout de .

Partie III. Une séparation de deux convexes

On admet la proposition suivante : si et sont deux convexes fermés de tels que ( ), alors il existe un vecteur non nul de et un réel tels que, pour tout de , pour tout de , on a : .
On note l'ensemble des parties de qui vérifient les trois conditions suivantes :
i) est convexe, fermée, bornée et contenue dans ;
ii) il existe un vecteur de dont toutes les coordonnées sont strictement positives ;
iii) pour tout de et tout de , on a : .
10. Dessiner dans un exemple d'élément de .
Dans toute la suite de cette partie, on se donne un élément de .
11. On dit qu'une fonction est strictement concave si, pour tout couple ( ) de vérifiant , pour tout réel de , on a : .
Montrer que la fonction ln est strictement concave sur .
12. Soit la fonction à valeurs réelles définie sur par : .
a) Justifier que admet un maximum sur .
b) Soit un vecteur de tel que . Montrer que pour tout de , on a : .
c) Établir l'unicité du vecteur de tel que .
(on pourra raisonner par contraposée et utiliser la question 11)
13. On note l'unique vecteur de en lequel la fonction atteint son maximum.
On pose : .
a) Montrer que est un élément de .
b) Montrer que pour tout vecteur de , on a : .
14. On pose : et .
a) Montrer que est fermé.
b) En utilisant la question 11, montrer que est convexe.
15. Établir l'égalité : . En déduire l'existence d'un vecteur non nul de vérifiant, pour tout de et tout de .
16. On veut montrer dans cette question que les coordonnées de sont toutes strictement positives.
a) On fait l'hypothèse selon laquelle . Pour tout de , on pose : .
Montrer que . En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'il existe donc un entier de tel que .
b) On suppose qu'il existe un entier de tel que . Pour tout de , on note le vecteur de défini par : et, pour tout de avec et .
Soit la suite réelle définie par : pour tout de .
Étudier la convergence de la suite . En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'en conséquence, pour tout de , on a : .
17. En utilisant un raisonnement semblable à celui des questions précédentes, montrer que toutes les coordonnées du vecteur sont égales. En déduire que pour tout de et tout de , on a : .

Partie IV. La solution de Nash

Un élément de est interprété comme un problème de négociation. Les éléments de représentent différents accords auxquels sont susceptibles d'aboutir personnes. Pour dans , est une mesure du "gain" de la personne . Le statu quo en cas de désaccord est le vecteur nul.
Pour et avec , on note le vecteur déduit de en échangeant les coordonnées de rangs et et si .
Pour et avec , on note l'ensemble .
Pour , on note le vecteur . Pour , on note l'ensemble .
Une règle de partage est une application qui associe à tout problème de négociation de , un vecteur de . On s'intéresse aux règles qui vérifient les propriétés suivantes :
P1 : Pour tout et il n'existe pas de point tel que et .
P2 : Pour tout et tel que pour tout , on a : .
P3 : Pour tous et tels que et , on a : .
P4 : Pour tout et pour tout couple ( ) d'entiers distincts de , on a : .
18. Les quatre propriétés et P 4 ont chacune une interprétation en terme de symétrie, ou d'optimalité, ou d'invariance par changement d'échelle ou d'invariance par élimination d'options non pertinentes (dans le désordre).
Quelle interprétation peut-on associer à chacune d'elles? Justifier très brièvement votre réponse.
19. Montrer que , définie dans la question 13, vérifie les propriétés P1, P2, P3 et P4.
20. Soit une règle satisfaisant à et P 4 .
a) On pose : et . A l'aide de P1 et P4, montrer que .
b) Soit un élément de . On considère l'ensemble défini dans la question 13 .
À l'aide de P3 et de la question 17, montrer que . En déduire que . Conclure.

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