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BCE Maths approfondies HEC ECS 2008

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2008
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2008ECS MathématiquesMathématiques 2008

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2008.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE EPREUVE :
280
HEC_M1_S

Concepteur : H.E.C.

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 30 avril 2008, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Dans tout le problème, et désignent deux entiers vérifiant . On note l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes, à coefficients réels. La transposée d'une matrice de est notée . Lorsqu'une matrice est inversible, on note son inverse.
Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels (respectivement ) et (resp. ), c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur (point) de (resp. ) avec le vecteur-colonne de ses coordonnées dans la base canonique de (resp. ).
On munit (resp. ) de sa structure euclidienne canonique, et pour tous vecteurs et de (resp. ), on note leur produit scalaire, et la norme de associée.
Pour tout de , on note une fonction définie sur à valeurs réelles, et de classe sur . Soit la fonction définie sur , à valeurs réelles, par : .
Autrement dit, si est un point de , on a : , en notant le vecteur .
Le problème a pour objet l'étude de quelques aspects mathématiques liés à la recherche du minimum de la fonction .

Partie I. Gradient et hessienne

Pour tout point de , on rappelle que:
  • le gradient de au point , noté , est le vecteur de suivant :
  • la matrice hessienne de au point , notée , est la matrice symétrique de suivante :
Pour tout point de , on note la matrice de définie par :
dans laquelle désigne l'indice de ligne et l'indice de colonne. On pose : .
Si est un point de vérifiant , on dit qu'un vecteur de est une direction de décroissance de en , si on a : .
Dans les trois exemples suivants, on suppose que est égal à 2 .
  1. Un premier exemple.
On considère les deux fonctions et définies sur par: , et .
a) Justifier que est de classe sur . Calculer, en tout point de , le gradient .
b) Montrer que le système d'équations qui permet de déterminer les éventuels points critiques de , peut se mettre sous la forme suivante:
c) Établir, pour tout de , l'inégalité : . En déduire que l'unique point critique de est ( ).
d) Déterminer, en tout point ( ) de , la matrice hessienne . En déduire que admet un minimum local en .
e) On note pour tout point de et respectivement, les matrices hessiennes de et au point . Préciser la matrice . Exprimer et en fonction de et respectivement.
2. Un deuxième exemple.
Soit et trois vecteurs non nuls donnés de , tels que la famille ( ) soit libre.
Pour tout de , la fonction est définie sur par: .
a) Exprimer, pour tout point ( ) de , le gradient à l'aide de et .
b) Justifier l'inégalité : . En déduire que la fonction possède un unique point critique .
Exprimer et en fonction de et .
c) Calculer, en tout point de , la matrice hessienne ; en déduire que admet un minimum local en .
d) En utilisant la structure euclidienne de , montrer que admet un minimum global en ( ).
3. Un troisième exemple.
On suppose que sont réels donnés non tous égaux. On note et respectivement, la moyenne arithmétique et la variance de la série statistique .
Pour tout de , la fonction est définie sur par : .
a) Déterminer les points critiques de .
b) Soit ( ) un point critique de . Exprimer en fonction de . Montrer, pour tout ( ) de , l'égalité : .
c) En déduire la nature des points critiques de . Ce résultat était-il prévisible?
4. Retour au cas général.
Soit un point de .
a) Exprimer en fonction de et de .
b) Pour tout de , on note la matrice hessienne de au point .
Établir la formule : .

Partie II. Une approximation de

Dans cette partie, on conserve les définitions et les notations de la partie I , et on suppose que est un vecteur fixé de vérifiant : .
Pour tout vecteur de , on pose: et .
  1. Établir, pour tout de , l'égalité : .
  2. Soit une matrice symétrique de .
    a) Justifier que est diagonalisable.
    b) On note les valeurs propres de , et on pose : . Montrer, pour tout vecteur de , l'inégalité suivante : .
  3. a) Écrire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction au point .
    b) En déduire, à l'aide de la question 2.b, que l'on a : .
Pour fixé de , on dit que est une approximation à l'ordre 2 de lorsque tend vers 0 .
4. On note : . Soit et deux fonctions définies sur par : et .
a) Montrer que pour tout de , on a : et .
b) En déduire que le gradient de en , est donné par : .
c) Soit la matrice hessienne de en . Établir la formule : .
5. Soit une matrice de .
a) Montrer que la matrice est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
b) Montrer que lorsque la matrice est inversible, le rang de la matrice est égal à .
6. Montrer que si la fonction admet des points critiques , alors ceux-ci vérifient l'inéquation : .
7. On suppose que la matrice est inversible.
a) Montrer que admet un unique point critique donné par : .
b) Établir que est une direction de décroissance de en . En déduire que admet un minimum local en .

Partie III. Une décomposition d'une matrice rectangulaire

Afin de réduire les inconvénients liés à l'inversion de la matrice , on remplace celle-ci par la matrice , où désigne un paramètre réel strictement positif, et la matrice identité d'ordre . Certains résultats d'algèbre linéaire permettent alors de substituer à l'inversion d'une matrice, le calcul plus simple d'une somme de matrices.
Soit une matrice non nulle de .
  1. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale de , un entier tel que , et des réels tels que , qui vérifient l'égalité : , où est définie par : si , et sinon. Si , on pose : .
    Pour tout de , on note la -ième colonne de .
  2. a) Montrer que le rang de est égal à .
    b) Montrer que, pour tout de est un vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre . En déduire que les matrices et ont les mêmes valeurs propres non nulles.
    c) Soit une base du sous-espace propre de associée à une valeur propre non nulle. Montrer que la famille ( ) est une famille libre de .
    d) En déduire que les sous-espaces propres de et de associés à la même valeur propre non nulle sont de même dimension, et que le rang de est égal à .
  3. On pose, pour tout de .
    a) Montrer que la famille est une famille orthonormée de vecteurs propres de .
    b) En déduire qu'il existe une base orthonormée de , formée de vecteurs propres de .
  4. On note la matrice de telle que, pour tout de , la -ième colonne de est la matrice-colonne de .
    Soit la matrice de définie par : si et sinon.
    Établir l'égalité matricielle suivante : . En déduire l'égalité : .
  5. a) Montrer que la matrice est inversible.
    b) On note la matrice de définie par : si et sinon.
Établir la formule suivante : .
c) En déduire l'égalité :
6. Soit un vecteur fixé de vérifiant: .
Pour tout vecteur de , on pose : .
a) Montrer que : .
b) Calculer, pour tout de , le gradient et la matrice hessienne de en .
c) En appliquant les résultats des questions précédentes à la matrice , montrer que admet un unique point critique . Donner une expression de qui utilise les résultats de la question 5.c.
d) Montrer que admet un minimum local en .
À partir de ce minimum local de (ou du minimum local de ), on pourrait utiliser une méthode algorithmique permettant, sous certaines conditions, d'approcher avec une précision donnée un minimum local de la fonction

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