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BCE Maths approfondies HEC ECS 2004

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2004ECS MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2004.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES ECRITES POUR LE HAUT ENSEIGNEMENT COMMERCIAL

Concepteur : ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Vendredi 14 Mai 2004, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

SUR LA TRANSMISSION DE MESSAGES

Le but de ce problème est de construire un système permettant de détecter et de corriger automatiquement des erreurs apparues lors de la transmission de messages binaires.
Dans tout le problème, désignent des entiers naturels non nuls.

Partie I. L'opération sur les parties d'un ensemble

Dans cette partie on considère un ensemble ayant éléments.
La différence symétrique de deux parties quelconques et de , notée , est l'ensemble des éléments de qui appartiennent à l'une et pas à l'autre. On admet que l'opération est commutative et associative.
On sait que pour toute partie de :
Pour toutes parties et de , on pose .
  1. a) Pour une partie de , déterminer et .
    b) Montrer que pour toutes parties et de .
  2. On sait qu'on peut représenter une partie de par le -uplet en posant:
à
a) Les parties étant représentées respectivement par ( ), ( ) et ( ), construire pour un entier fixé appartenant à , une table à deux lignes et deux colonnes donnant les valeurs de en fonction des valeurs de et .
Comparer et .
b) Montrer que pour toutes parties , et de , .

Partie II. Une autre algèbre linéaire

On considère l'ensemble et désigne l'ensemble des matrices à lignes et colonnes dont les coefficients appartiennent à .
On définit sur l'addition et la multiplication . à l'aide des tables suivantes :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
. 0 1
0 0 0
1 0 1
On remarque que la multiplication sur est la multiplication des réels, que ces opérations sont associatives, commutatives et que la multiplication sur est distributive par rapport à l'addition sur ; ces propriétés ne sont pas à démontrer.
On définit également :
  1. la somme de deux matrices et appartenant à par :
ù
  1. le produit d'une matrice et d'un élément appartenant respectivement à et par:
  1. le produit de deux matrices et appartenant respectivement à et , par :
ù
Pour toute matrice appartenant à et toute colonne appartenant à , le produit est ainsi bien défini.
On admet que la loi + ainsi définie sur est une opération commutative, associative, qu'elle admet un élément neutre à savoir la matrice nulle ayant lignes et colonnes et dont tous les éléments sont nuls;
on note cette matrice et cela quelles que soient les valeurs de et .
On admet également que est distributive par rapport à .
Dans leur copie les candidats pourront omettre les points sur les signes + et × .
On remarque que pour toute matrice appartenant à :
(
On appelle code toute partie non vide de telle que :
  1. On considère les quatre colonnes appartenant à puis l'ensemble .
    a) Montrer que est un code.
Déterminer tous les éléments de à l'aide de .
b) Existe-t-il une famille ( ) d'éléments de telle que soit égal à ?
c) Montrer que: .
On dit qu'une famille d'éléments de est -libre lorsque:
Dans le cas contraire, on dit que la famille est -liée.
On dit qu'une famille ( ) dont les éléments appartiennent à un code est une -base de lorsqu'elle est une famille -libre et lorsque pour tout élément de il existe ( ) appartenant à tel que .
(Dans leur copie, les candidats pourront omettre la lettre dans les expressions manipulées -libre, - base, sans en oublier le sens particulier.)
Dans la suite de cette partie désignera un entier naturel supérieur ou égal à 2.
2) Pour tout et appartenant à est le nombre d'entiers appartenant à tels que .
a) Montrer que: .
b) Montrer que: .
3) Soit un code non réduit à .
a) Montrer que admet une -base. On pourra considérer, après avoir justifié son existence, le cardinal maximum d'une famille -libre formée d'éléments de .
b) - Montrer que si ( ) est une -base d'un code , alors tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme .
  • En déduire le cardinal de en fonction du cardinal d'une de ses -bases.
    c) Montrer que toutes les -bases de ont le même cardinal.
    d) On suppose que est le cardinal d'une -base de et que ( ) est une famille -libre de , montrer que ( ) est une -base de .
  1. On suppose dans cette question que et on note la matrice à lignes et colonnes dont tous les éléments sont nuls excepté les éléments diagonaux qui sont égaux à 1 .
    On suppose également que est une matrice appartenant à telle que colonnes de sont égales aux colonnes distinctes de .
    On définit l'ensemble .
    a) Montrer que est un code.
    b) Montrer que pour tout appartenant à il existe une permutation de telle que: où est une matrice appartenant à .
    (Dans la notation habituelle d'une matrice par blocs utilisée ci-dessus, la -ième ligne de est formée de la -ième ligne de suivie de la -ième ligne de .)
    c) En déduire le nombre d'éléments de et le cardinal d'une de ses -bases.
    d) On suppose dans cette sous-question que est la matrice ( ) où est une matrice appartenant à . Montrer que les colonnes de la matrice constituent une base de .
    e) Si est une partie non vide de désigne le plus petit élément de .
On suppose que est un entier strictement supérieur à 1 , que toute famille formée de colonnes de est une famille -libre de et qu'il existe une famille -liée formée de colonnes de . Montrer que dans ces conditions .

Partie III. Un code correcteur d'erreurs

Dans cette partie, on suppose que l'entier est supérieur ou égal à 2 et on pose . On considère une matrice dont les colonnes sont les éléments non nuls de et on définit :
  1. Déterminer le cardinal des -bases de .
  2. Montrer que: et .
  3. Pour tout appartenant à , on définit .
    a) Déterminer le cardinal de .
    b) Montrer que si et sont deux éléments distincts de , alors .
    c) Montrer que .
  4. Soit appartenant à .
    a) Montrer qu'il existe un seul élément appartenant à tel que ; cet élément est noté .
    b) Montrer qu'il existe un seul élément appartenant à tel que et . Comparer et .
  5. Dans cette question et dans celle-ci uniquement on suppose que , donc , et on choisit pour la matrice .
    matrice .
    a) Montrer que a pour K-base où .
    b) On suppose qu'on veut transmettre (par sémaphore, radio ou internet ...) un message consistant en la suite de quatre symboles égaux à 0 ou .
    Au lieu de transmettre dans l'ordre ces quatre symboles, on calcule et ce sont les sept éléments de cette colonne qui sont transmis dans l'ordre (de haut en bas).
    On suppose que les composantes de la colonne reçues sont dans l'ordre: et qu'il y a une seule erreur dans la transmission, c'est à dire qu'une seule composante de est fausse.
Déterminer la valeur exacte des quatre nombres , (on utilisera le produit ).
c) On suppose qu'ayant transmis une colonne , appartenant à , on a reçu la colonne comportant deux erreurs. Montrer que le calcul de permet de s'apercevoir qu'il y a effectivement des erreurs mais ne permet pas de connaître les deux composantes qui sont fausses.

Partie IV. Distinguere falsum vero

Dans cette partie on utilise les mêmes notations que dans la partie III, en particulier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et .
  1. Pour tout appartenant à , on considère l'écriture de en base deux: et on prend alors pour matrice la matrice .
    On considère éléments appartenant à . On veut transmettre le message formé par la ligne . Comme dans la question précédente, on commence par calculer la colonne où ( ) est une base de et c'est cette colonne qui est transmise.
    On désigne le message reçu par la colonne et on suppose qu'il y a une seule erreur pendant la transmission.
    On calcule alors et on pose .
    Montrer que l'erreur s'est produite à la composante numéro de .
  2. On suppose dans cette question que et .
    a) On pose :
Déterminer la matrice et montrer que ( ) est une -base de
b) Les deux célèbres mathématiciens Primus et Secundus concourent au calcul d'une nouvelle constante universelle qu'ils appellent . Primus pense avoir trouvé les trois premiers chiffres significatifs et (en base dix) de et s'empresse de les transmettre à Secundus. Afin de minimiser les risques d'erreur au cours de la transmission et de s'assurer la possibilité de les détecter et les corriger, Primus et Secundus adoptent la démarche suivante:
) Chacun des chiffres a été écrit en base deux à quatre positions. Ainsi 5 est représenté par 0101 et 9 par 1001. Donc le chiffre est écrit est écrit est écrit , ainsi par exemple .
) Primus transmet les 3 colonnes :
( et ont été définies ci-dessus et sont bien sûr connues de Secundus).
Évidemment Primus ne se trompe pas dans ses calculs mais la transmission est sujette à erreurs : on a constaté dans la pratique qu'il y a une erreur au plus par colonne transmise.
Secundus réceptionne une liste où les trois colonnes reçues sont écrites bout à bout, soit le message suivant:
Quel est probablement le nombre que Primus et Secundus semblent en fait sur le point de découvrir?
c) Secundus décide d'écrire un programme en Pascal qui permet de retrouver à partir des colonnes reçues les chiffres envoyés par Primus. Comment Secundus peut-il procéder?

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