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BCE Maths approfondies HEC ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2002ECS MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2002.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Jeudi 16 Mai 2002, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Le sujet ci-dessous vise à faire comprendre comment deur concurrents aux intérêts antagonistes, ne parvenant pas à fixer conjointement les stratégies de l'un et l'autre. conviennent de les tirer au sort avec des probabilités bien déterminées.

Notations :

Dans tout le problème et désignent des entiers naturels non nuls fixés et on pose , on définit de même .
On note l'ensemble ; on définit de même .
Les espaces et sont munis de leur structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur de est notée : le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté ; on adopte la même notation pour les vecteurs de .
Enfin, si est un entier naturel non nul et si est une famille finie de réels, on note ou (respectivement ou ) son plus grand (respectivement son plus petit) élément.
Plus généralement, si est une fonction définie sur un ensemble , à valeurs dans , admettant un maximum (respectivement un minimum) sur , on note , (respectivement ), ce maximum, (respectivement ce minimum).

Partie I. Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits

Soit une matrice appartenant à .
On note et . Pour simplifier les notations, on pourra écrire ces expressions : et .
  1. Calculer et dans les deux cas suivants : .
  2. On revient au cas général où . Pour tout et tout , on pose et .
    a) Montrer que pour tout et tout .
    b) En déduire que .
  3. On suppose que dans le préambule d'un programme écrit en Turbo-Pascal on a défini :
  4. deux constantes entières: n et ,
  5. un type: matrice = array[1..n,1..p] of real;
    a) Écrire le corps de la fonction function Max_ligne (A:matrice; i:integer): real; cette fonction doit retourner le plus grand élément de la ligne i de la matrice A, c'est-à-dire la valeur .
    b) Écrire le corps de la fonction function MinMax(A:matrice): real; cette fonction doit retourner la valeur , définie plus haut; on pourra utiliser la fonction Max_ligne.

Partie II. Le minimum des maxima et le maximum des minima

  1. Dans cette question on étudie un exemple. On considère la matrice , et pour tout . on pose et puis .
    a) Calculer en fonction de et .
    b) Déterminer suivant les valeurs de , le maximum de la fonction sur ; ce maximum sera noté .
    c) Déterminer la valeur minimum de lorsque décrit . Cette valeur sera notée , elle est donc égale à , qu'on note plus simplement , étant entendu que et décrivent .
    d) Par une méthode analogue montrer l'existence de et donner sa valeur.
Dans la suite de cette partie désigne une matrice appartenant à .
On définit la fonction sur par: .
Pour tout et tout , on pose , puis .
2) On considère des fonctions définies et continues sur , à valeurs dans .
a) On pose . c'est-à-dire la fonction de dans définie par .
Vérifier que et en déduire que est continue sur .
b) Montrer que la fonction est continue sur étant définie sur par: .
3) Dans cette question on considère un élément appartenant à .
a) Montrer que pour tout .
b) Montrer qu'il existe tel que .
c) En déduire quon peut poser: .
4) a) Montrer que est borné.
(On admet pour la suite du problème, que est une partie fermée de )
b) Montrer que admet un minimum sur .
Ce minimum est noté et il est donc égal à , qu'on note plus simplement .
On montrerait de manière analogue que le nombre existe. Il est noté et on l'écrit plus simplement .
5) a) Soit ( ) appartenant à . Montrer que .
b) En déduire: .
6) On dit qu une partie non vide de est convexe lorsque: . On considère dans cette question une partie de convexe, fermée, bornée et non vide.
a) Montrer qu'il existe , tel que: .
b) Soit appartenant à , on pose pour tout .
  • Montrer que: .
On rappelle que désigne le produit scalaire de et .
  • En déduire que: .
  1. Dans cette question et jusqu'à la fin de cette partie on considère l'ensemble:
a) Montrer que est une partie convexe de .
b) Montrer que est une partie convexe et bornée de .
On admet pour la suite que est une partie fermée de .
8) On suppose dans cette question que le vecteur nul appartient à .
a) Montrer qu'il existe et un réel tels que: .
b) Déterminer le signe de pour tout .
c) Déterminer le signe de .
9) Dans cette question on suppose que le vecteur nul n'appartient pas à .
a) Montrer qu'il existe un élément tel que:
b) On note les coordonnées de dans la base canonique de .
Montrer que pour tout .
c) Montrer que: .
d) Montrer qu'il existe un vecteur tel que: .
e) Montrer que .
10) On définit la matrice par où est la matrice appartenant à dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a) Déterminer les valeurs et en fonction de et .
b) Déduire des questions précédentes que .

Partie III. Point-selle et point critique

Dans cette partie, désigne toujours une matrice de à et on rappelle que pour tout ( ) appartenant à .
On dit que le couple appartenant à est un poinl-selle pour , lorsque:
  1. Montrer quil existe un point-selle pour et que si ( ) en est un. alors .
  2. On considère la matrice réelle et on définit la fonction sur par:
On appelle point critique de tout couple tel que .
a) Montrer que admet un unique point critique ( ) si et seulement si . Déterminer dans ce cas .
b) On suppose et de mêne signe et non tous nuls et on suppose également que et sont de même signe et non tous nuls.
  • Montrer que dans ce cas admet un unique point critique et que .
  • Montrer que: .
On pourra introduire les notations suivantes: . . et on exprimera à l'aide de et .
  • En déduire que est un point-selle pour l'application définie sur par: .
  • Quelle est la valeur de ?

Partie IV. Application à une étude de la concurrence

Deux entrepreneurs Primus et Secundus se partagent le marché d'un produit sur un territoire commun, de sorte qu'au cours d'un trimestre, si l'un voit sa part de marché varier de unités (nombre réel positif ou négatif) l'autre voit la sienne varier de unités. Cette variation dépend à chaque trimestre des stratégies choisies par l'un et l'autre.
Primus a le choix entre deux stratégies notées et , Secundus a le choix entre deux stratégies et . Lorsque Primus et Secundus choisissent chacun l'une de leurs deux stratégies, leurs parts de marché sont modifićes et le tableau suivant donne les variations trimestrielles de la part de marché de Secundus, celles de Primus étant opposées.
Variation trimestrielle de la part de marché de Secundus lorsque : Secundus choisit Secundus choisit
Primus choisit -2 3
Primus choisit 1 -1
Dans une négociation entre Primus et Secundus, si Secundus propose par exemple , Primus propose alors . mais dans ce cas Secundus préfêre et Primus souhaite alors , ce qui pousse Secundus à choisir de nouveau ; finalement toute entente semble être impossible.
Primus et Secundus décident alors de s'en remettre au hasard de la manière suivante: les deux concurrents choisissent simultanément et aléatoirement l'une des deux stratégies dont chacun dispose: Primus choisit la stratégie avec la probabilité et la stratégie avec la probabilité , Secundus, indépendamment du choix de Primus, choisit la stratégie avec la probabilité et la stratégie avec la probabilité . On note dans ces conditions, la variable aléatoire égale à la variation trimestrielle de la part de marché de Secundus.
  1. Déterminer l'espérance de .
  2. Établir qu'il existe des probabilités et telles que Primus (respectivement Secundus) ne trouve aucun avantage à prendre différent de (respectivement différent de ), lorsque Secundus (respectivement Primus) s'en tient à (respectivement à ).
    Déterminer les valeurs de et .

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