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BCE Maths approfondies HEC ECS 2001

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesSuites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2001ECS MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2001.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Le but de ce problème est l'étude du modèle démographique «Proies et prédateurs» de Vito Volterra.
Dans tout le problème, In désigne la fonction logarithme népérien, désignent des réels strictement positifs, fixés une fois pour toutes, et on définit les fonctions et sur par:
Enfin, on appelle la fonction définie sur par:

Partie I. Étude de la fonction

  1. Étudier les variations de la fonction et vérifier qu'elle admet un minimum que l'on note ; on définit , mutato nomine, celui de la fonction .
  2. On note et les restrictions respectives de à et à .
On note et les restrictions respectives de à et à .
Montrer que définit une bijection de dans un ensemble que l'on précisera. Énoncer des résultats analogues pour et .
3) Montrer que possède un minimum et préciser l'ensemble des points en lesquels celui-ci est atteint. On notera le minimum de .

Partie II. Étude des lignes de niveau de

On définit pour tout réel , l'ensemble . On se propose détudier, dans cette partie, la forme de la représentation graphique de dans le plan muni d'un repère orthonormé.
  1. Préciser lorsque et lorsque .
  2. On suppose désormais .
    a) Montrer qu'il existe deux réels strictement positifs et tels que :
b) On note l'ensemble des réels strictement positifs pour lesquels il existe au moins un réel strictement positif tel que . Montrer que .
c) - Montrer que, dans le cas où appartient à , il existe deux réels strictement positifs y tels que et exprimer ces nombres à l'aide de et .
  • Préciser l'ensemble lorsque d'une part et d'autre part .
    d) - Montrer qu'il existe deux fonctions et définies sur telles que:
  • Justifier la réprésentation de suivante. Préciser les positions des tangentes éventuelles aux points d'abscisses et .

Partie III. Étude du cas discret

On considère dans cette partie un réel et un entier strictement positifs ; on pose . On considère également deux suites de nombres réels strictement positifs et telles que :
On pose:
  1. Dans le préambule d'un programme écrit en Turbo-Pascal on a défini les constantes , et précédemment introduites.
    Écrire le corps de la procédure :
Procedure calcul(SO,RO : Real ; Var S,R : Real) ;
qui doit retourner dans et les valeurs de et conformément aux relations décrites au début de cette partie, sachant que et .
2) a) Pour tout entier appartenant à , calculer en fonction de et .
b) Déterminer, pour tout en fonction de et .
c) Montrer que, pour tout :
  1. a) Montrer que: .
    b) En déduire que:
c) Montrer que pour tout :
  1. On pose . Déterminer un réel s'exprimant à l'aide de , et tel que pour tout appartenant à , on ait:

Partie IV. Étude du cas continu

Dans cette partie on considère deux fonctions et définies sur , de classe sur , et à valeurs dans . On suppose que et vérifient les relations ( ) suivantes :
Dans ces relations, et désignent respectivement les fonctions dérivées de et .
Le plan est toujours muni d'un repère orthonormé.
  1. a) Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout réel positif le point de coordonnées appartient à , ensemble introduit dans la partie II.
    b) En déduire que les fonctions et sont bornées.
    c) Que peut-on dire des fonctions et si ?
On suppose désormais, et ce jusqu'à la fin du problème, que .
2) Soit un réel positif. On suppose que ne s'annule pas sur .
a) - Montrer que admet une limite finie en .
  • Montrer que cette limite est strictement positive.
    b) Montrer qu'il existe un réel tel que ne s'annule pas sur . Que peut-on en déduire pour ?
    c) - Montrer que admet une limite en .
  • Montrer que cette limite est nulle en considérant la nature de l'intégrale .
    d) Montrer également que : .
    e) En considérant les limites de et en , montrer qu'on arrive à une contradiction. En déduire que s'annule en une infinité de points.
  1. On considère dans cette question deux réels positifs et distincts tels que , et on suppose: .
    a) Montrer qu'il existe appartenant à tel que .
    b) En considérant les valeurs de en et , montrer qu'il existe un réel strictement positif et indépendant de et tel que .
    c) Montrer que est bornée sur .
    d) Montrer qu'il existe un réel strictement positif et indépendant de et tel que .
  2. a) Montrer qu'on peut trouver trois réels positifs tels que:
b) Montrer que ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur .
c) En déduire qu'il existe trois réels positifs tels que tels que:
  1. Montrer que est de signe constant sur et sur et que les signes respectifs de sur ces deux intervalles sont opposés. On pourra considérer les valeurs de en .
    Dans la suite on supposera que est positif sur et donc négatif sur .
  2. a) Montrer que et .
    b) Déterminer les valeurs de et .
  3. a) Sur un même tableau de variation faire apparaître les variations de et de sur .
    b) En déduire le sens de déplacement du point de coordonnées sur la représentation graphique de lorsque décrit .
  4. On admet que si ( ) et ( ) sont deux couples de fonctions définies sur , de classe sur , à valeurs dans , vérifiant les relations ( ) et s'il existe un réel tel que et , alors :
Montrer que les fonctions et sont périodiques de période .
9) On considère un réel positif.
a) Calculer .
b) En déduire la valeur moyenne de sur le segment , c'est-à-dire .
Déterminer de même la valeur moyenne de sur le segment .
10) On considère dans cette question deux fonctions et définies sur , de classe sur et à valeurs dans . On considère également un réel appartenant à , a . On suppose que et vérifient les relations ( ) suivantes:
Dans ces relations, et désignent respectivement les fonctions dérivées de et .
Montrer qu'il existe un réel strictement positif tel que les fonctions et sont périodiques de période et déterminer la valeur moyenne de ces fonctions sur un segment de longueur égale à .

Partie V. Le contexte historique du modèle de Vito Volterra

On peut voir dans les calculs qui précèdent une représentation de l'évolution d'une population d'individus de deux types : les proies et les prédateurs. Ceux-ci se nourrissent uniquement de celles-là, et celles-là d'une autre nourriture disponible en abondance. Les proies, en l'absence de prédateurs, se développeraient de façon exponentielle, mais cette croissance est en fait réduite par la présence des prédateurs. En revanche, le nombre de prédateurs, en l'absence de proies, décroîtrait de manière exponentielle, (sans proies ils finiraient par disparaître), laquelle décroissance est compensée par la présence des proies.
Supposons alors que cette population soit une population de poissons constituée de proies et de prédateurs d'effectifs relatifs et à l'instant , (les fonctions et ontété introduites à la question 10) de la partie IV) ; la constante apparaissant dans les relations ( ) représente un taux de pêche identique pour les proies et les prédateurs.
Au cours de la première guerre mondiale, on a pu constater, dans l'Adriatique, qu'une diminution de la pêche était défavorable aux proies.
Montrer que les calculs de la question IV. 10 expliquent directement le phénomène observé.

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