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Ce problème étudie quelques propriétés des endomorphismes cycliques d'un espace vectoriel de dimension finie, ainsi que la décomposition de Frobenius d'un endomorphisme de .
Dans tout le problème :
désigne l'ensemble ou ;
est un entier supérieur ou égal à 2;
est un -espace vectoriel de dimension ;
désigne l'ensemble des endomorphismes de ;
on rappelle qu'une homothétie est une application du type où appartient à et est l'application identique (ou identité) de ;
un sous-espace vectoriel de est dit stable par un endomorphisme de si, pour tout , .
On note alors , l'endomorphisme de définit par : .
Cet endomorphisme est appelé endomorphisme de induit par ;
si est un endomorphisme de , on définit les puissances successives de par récurrence : et pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on pose ;
si est un endomorphisme de et un vecteur de , on note le sous-espace vectoriel de défini par:
Si est un entier naturel non nul, désigne la famille ( )
soit ; on dit que est un endomorphisme cyclique s' il existe tel que ; on considérera qu'en dimension 1 , tout endomorphisme est cyclique;
soit ; on dit que est une matrice de Frobenius ou une matrice compagnon s'il existe des scalaires tels que :
Le polynôme est appelé polynôme caractéristique
on dit qu'un endomorphisme de est nilpotent s'il existe un entier naturel non nul tel que . Dans ce cas, est appelé indice de nilpotence de .
Le problème comporte trois parties.
Dans la première partie, on étudie les premières propriétés des endomorphismes cycliques, on traite quelques exemples, en particulier avec Scilab.
Dans la seconde partie, on étudie le cas des endomorphismes diagonalisables et nilpotents.
Dans la troisième partie, on obtient une décomposition d'un endomorphisme appelée décomposition de Frobenius et on en déduit quelques propriétés élémentaires; on montre en particulier que toute matrice carrée réelle est semblable à sa transposée.
Partie I - Premières propriétés
Soit un endomorphisme de et un vecteur non nul de .
Section A - Étude des sous-espaces
Justifier que la famille est liée.
On note est libre ; justifier l'existence de .
Montrer qu'il existe des scalaires tels que :
Montrer alors que pour tout entier supérieur ou égal à , le vecteur est une combinaison linéaire des vecteurs de ( .
En déduire que est une base de .
4. Montrer que est stable par l'endomorphisme .
Montrer également que tout sous-espace vectoriel de contenant et stable par l'endomorphisme contient .
5. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur l'entier , le vecteur est-il un vecteur propre pour ?
6. Montrer que est une homothétie si et seulement si pour tout vecteur non nul de , on a .
7. Montrer que est un endomorphisme cyclique si et seulement s'il existe un vecteur non nul e de tel que .
Section B - Premières propriétés des endomorphismes cycliques
On suppose dans cette section que est un endomorphisme cyclique de et donc qu'il existe un vecteur non nul de tel que .
8. On note la matrice de dans la base de ; vérifier que est une matrice de Frobenius.
9. On note son polynôme caractéristique.
Que vaut ?
Calculer pour .
Montrer que est un polynôme annulateur de .
10. Vérifier que la famille ( ) est libre dans .
11. En déduire que est un polynôme annulateur non nul de de degré minimal.
12. Soit . Montrer que est valeur propre de si et seulement si est racine de et vérifier que le sous-espace propre de associé à la valeur propre est de dimension 1.
13. En déduire une caractérisation portant sur pour que soit diagonalisable.
Section C- Un premier exemple
On suppose dans cette section que et on note la base canonique de .
On note aussi et les endomorphismes de dont les matrices dans la base sont respectivement
Justifier que est diagonalisable. On notera et avec les valeurs propres de rangées par ordre croissant.
Déterminer une base de diagonalisation de telle que pour tout , et telle que la première coordonnée du vecteur dans la base soit 1 .
On pose ; déterminer et en déduire que est cyclique.
Déterminer un polynôme annulateur non nul de de degré minimal. L'endomorphisme est-il cyclique?
Vérifier que est une base de vecteurs propres de .
Section D - Avec Scilab
Dans cette section, on suppose que les polynômes sont à coefficients réels. On va étudier deux méthodes indépendantes qui vont implémenter en Scilab la caractérisation vue dans la question 13. Les questions 22 et suivantes de cette section sont indépendantes des précédentes questions. On pourra utiliser les quelques notions de Scilab données ci-dessous :
on crée un polynôme p de la variable x à l'aide de la syntaxe poly (coeff, ' x ', ) où coeff est le vecteur représentant les coefficients de p. Par exemple, le polynôme est défini par ;
pour évaluer un polynôme p en une valeur val, on utilise horner (p, val);
le degré d'un polynôme p est obtenu sous Scilab par degree (p);
la dérivée d'un polynôme est obtenue sous Scilab par derivat ( ) qui renvoie un polynôme ;
on peut effectuer des tests de comparaison avec ==, <=, >=, <, > ou <>.
Par exemple, si est une variable de type numérique, l'instruction renvoie le booléen (ou vrai) si x est positif ou nul et le booléen (ou faux) si x est strictement négatif;
les fonctions max, sum, abs permettent de calculer respectivement le maximum, la somme et la valeur absolue des éléments d'un vecteur (on renvoie un vecteur pour la fonction abs).
Soient et deux polynômes non nuls à coefficients dans . Montrer qu'il existe un polynôme , diviseur commun à et , de degré maximum et dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1 . Un tel polynôme est appelé un pged de et .
Dans la suite, on pourra utiliser la fonction Scilab be zout qui appliquée à deux polynômes et q , renvoie un pgcd de p et q sous forme d'un polynôme.
Soit un polynôme à coefficients dans de degré supérieur ou égal à 2 . Montrer que admet une racine complexe de multiplicité strictement supérieure à 1 si et seulement si un pgcd de et de sa dérivée est de degré supérieur ou égal à 1 .
Compléter la fonction Scilab racSimp suivante qui appliquée au vecteur ligne c représentant les coefficients d'un polynôme renvoie le booléen T ou F selon que le polynôme n'a que des racines simples ou pas.
function b = racSimp(c)
...
...
b = ...
endfunction
Comment utiliser cette fonction pour tester si une matrice de Frobenius est diagonalisable ou non?
Dans la suite de cette section, on propose une deuxième méthode approximative, valable seulement dans le cas où et permettant de tester si un polynôme réel de degré admet exactement racines réelles distinctes.
L'idée de la méthode est de partir d'un réel en deçà duquel on est sûr que le polynôme ne s'annule pas. Par un parcours de gauche à droite, on va tester le signe du polynôme et si l'on rencontre changement de signes, on saura que le polynôme admet racines réelles. Dans le cas contraire, on renverra une valeur d'indétermination.
22. Justifier que si un polynôme de degré est tel qu'il existe réels avec tels que pour , alors admet racines distinctes.
23. Montrer que si est un polynôme à coefficients réels et si est un réel tel que , alors (on pourra montrer que si , alors ).
Dans la suite, on notera le réel .
24. Compléter la fonction Scilab racSimpApprox suivante qui appliquée au vecteur ligne c représentant les coefficients du polynôme et au réel pas, renvoie le booléen T si cette fonction Scilab détecte changements de signe en partant de et en testant les valeurs de pas en pas jusqu'à dépasser m+pas/ 2 .
Dans le cas où l'on ne rencontre pas changements de signe, la fonction renverra la chaîne de caractères "ind".
function val = racSimpApprox(c,pas)
...
|
|
|
...
val = ...
endfunction
Comment utiliser cette fonction pour tester si une matrice de Frobenius est diagonalisable ou non?
Expliquer dans quel(s) cas la fonction renvoie la valeur indéterminée "ind".
Partie II - Étude de deux cas particuliers
Section A - Endomorphismes diagonalisables qui sont cycliques
Dans cette section, on considère un endomorphisme de et on suppose que est diagonalisable. On note une liste des valeurs propres distinctes de .
26. En considérant son action sur une base de vecteurs propres de , établir que l'endomorphisme est l'endomorphisme nul.
27. En déduire que la famille ( ) est liée dans .
28. Quelle est la valeur de si est cyclique?
On suppose jusqu'à la fin de cette section que , et on note une base de vecteurs propres de telle que pour tout .
29. Soit . Montrer que la famille est libre et conclure que est cyclique.
30. On reprend dans cette question seulement l'exemple de la section C de la partie I et, pour réel, on note .
Montrer que est diagonalisable et discuter, suivant les valeurs de , les cas où est cyclique.
Section B - Endomorphismes nilpotents qui sont cycliques
Dans cette section, est un endomorphisme nilpotent de d'indice de nilpotence .
31. Soit tel que ; montrer que la famille est libre dans .
32. En déduire que et montrer que si et seulement si est cyclique.
Dans le cas , écrire la matrice de dans la base .
Section C - Un second exemple
Dans cette section, est le sous-espace vectoriel des fonctions de dans , constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à .
Pour , on note la fonction de et on rappelle que constitue une base de .
33. Soit ; montrer que pour tout réel, l'intégrale converge et montrer que la fonction appartient à .
On note défini par: .
34. Vérifier que est un endomorphisme de .
35. Soit ; à l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
où désigne la dérivée de .
36. En déduire que pour tout où, pour désigne la dérivée de .
37. Soit ; à l'aide d'un changement de variable, montrer que :
Montrer que pour tout , la fonction est dérivable sur .
Montrer alors que est dérivable sur et que .
En déduire que .
39. Déterminer la matrice de dans la base de et en déduire le spectre de .
40. On pose ; montrer que est le sous-espace vectoriel de , constitué des fonctions polynomiales de dans de degré inférieur ou égal à .
41. Montrer que est nilpotent. L'endomorphisme est-il cyclique?
Partie III - Décomposition de Frobenius et applications
On se propose de démontrer, pour tout endomorphisme de , la propriété suivante notée :
il existe et des sous-espaces vectoriels non nuls de , stables par , tels que et vérifiant :
pour tout est un endomorphisme cyclique de .
Section A - Cas d'une homothétie
Démontrer que la propriété ( ) est réalisée si est une homothétie.
Section B - Cas où u n'est pas une homothétie
Justifier qu'il existe vecteur non nul de tel que .
Pour le reste de cette section, on choisit un vecteur non nul e de tel que soit maximal (donc ) et on note, pour tout ; on note toujours ainsi que les scalaires tels que . Enfin, on note .
44. Justifier que la propriété ( ) est réalisée si .
Dans la suite de cette section, on suppose que (et donc ).
On complète la famille en une base de .
45. Démontrer que l'application est une forme linéaire non nulle de .
On considère l'application .
46. Vérifier que est linéaire. On note et la restriction de à .
47. Calculer et .
Plus généralement, justifier que pour tout , il existe une famille de scalaires telle que .
48. Écrire alors la matrice de l'application dans les bases de et la base canonique de et justifier que est bijectif.
49. Montrer alors que et justifier que est stable par .
50. Dire pourquoi est bien un endomorphisme cyclique de .
51. Justifier que pour tout vecteur non nul de .
52. Démontrer que la propriété ( ) est réalisée.
Section C - Première application : décomposition de Jordan des endomorphismes nilpotents
Soit un endomorphisme de . On suppose qu'il existe et des sousespaces vectoriels de non nuls et stables par , tels que .
Pour tout , on note une base de .
Soit la concaténation des bases . On rappelle que est une base de . Quelle est la forme de la matrice de dans la base ?
Dans la suite de cette section, est un endomorphisme nilpotent de d'indice .
Montrer, à l'aide de la propriété ( ), qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est triangulaire inférieure et telle que pour tout , pour tout , et tous les autres coefficients de sont nuls.
Section D - Deuxième application : toute matrice carrée est semblable à sa transposée
Dans cette section, . On note la base canonique de .
Soit . On note l'endomorphisme de canoniquement associé à , c'est-à-dire tel que la matrice de dans la base est .
On se propose de montrer que vérifie la propriété :
Cas où u est cyclique : il existe donc tel que ; on note toujours la base de et la matrice de dans la base il s'agit de la matrice de Frobenius associée aux scalaires :
On considère :
et on note l'endomorphisme de tel que est la matrice de dans la base . On a donc :
et plus généralement :
et enfin .
Calculer et plus généralement, pour tout et enfin .
56. En déduire que .
On notera cette matrice .
57. Justifier que est inversible; on note et on a donc où et sont deux matrices symétriques réelles.
58. On note la matrice de passage de la base vers la base ; vérifier que et conclure que vérifie la propriété .
59. Montrer alors que et sont semblables; plus précisément, déterminer une matrice symétrique réelle inversible telle que .
60. Cas général : en s'appuyant sur le cas précédent et la propriété ( ), montrer que pour toute matrice de , les matrices et sont semblables.
