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BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2023

Epreuve de maths approfondies - ECG 2023

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatiqueSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2023
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2023ECG MathématiquesMathématiques 2023

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECG, session 2023.

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MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALEVOIE GENERALE

Jeudi 27 avril 2023, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes:
  • Pour tout entier , on note l'ensemble des entiers vérifiant .
  • Si , on note la partie entière de .
  • Pour tous et désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes. On pose et on note la matrice identité de . Les coefficients d'une matrice sont notés et .
  • La transposée d'une matrice est notée . Lorsque , où , on identifie au réel . Si , on note sa norme euclidienne.
  • Soit un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
  • Si est une variable aléatoire réelle, on note son espérance, si elle existe. Pour tout , on appelle moment d'ordre de , s'il existe, le réel . On le note et on convient que
  • Si est une fonction de deux variables de classe et , on notera et , respectivement, le gradient et la matrice hessienne de au point ( ).
  • , on définit la fonction puissance sur par
  • Soit une fonction définie sur à valeurs dans et un intervalle de . On note , la restriction de à :
L'énoncé comporte trois grandes parties I, II et III. Les parties II et III sont largement indépendantes.
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

Partie I : questions préliminaires, problème des moments

Soit une variable aléatoire réelle à densité.
  1. Montrer que dans les cas suivants, la variable admet des moments de tout ordre et déterminer ces moments :
    (a) suit la loi uniforme sur .
    (b) suit la loi exponentielle de paramètre .
Dans toute la suite, on se donne une suite de réels avec et un intervalle de .
On considère le problème suivant appelé problème des moments et qu'on note :
Trouver une variable aléatoire réelle vérifiant les trois conditions suivantes :
  • Pour tout admet un moment d'ordre et .
  • admet une densité , avec continue sur .
  • .
Si est une solution de ce problème et une densité de vérifiant les points précédents, on dit que est une densité de adaptée à .
Dans ce problème, on s'intéressera uniquement à deux cas :
  • Le cas . Dans ce cas, est appelé le problème de Stieltjes.
  • Le cas . Dans ce cas, est appelé le problème de Hausdorff.

Partie II : le problème de Stieltjes

II.1) Des conditions nécessaires d'existence

On suppose dans cette partie II. 1 que le problème avec admet une solution notée . On note une densité de adaptée à .
Pour tout , on note et les matrices de dont les coefficients sont :
  1. Ecrire explicitement et en fonction de et .
  2. Soit et . Montrer que
puis que
où est la fonction polynomiale définie par
  1. En déduire que pour tout , toutes les valeurs propres de sont positives.
  2. Montrer de même que pour tout , toutes les valeurs propres de sont positives.
  3. On suppose uniquement dans cette question que et .
Montrer que nécessairement .
7. On suppose dans cette question seulement qu'il existe un réel tel que l'intégrale converge.
(a) Montrer que pour tout et tout , on a
(b) En déduire que la série de terme général diverge.

8. Python

On se donne un entier naturel . On pose : .
On voudrait vérifier numériquement que la condition suivante, portant sur les premiers termes , est vérifiée :
On rappelle que cette condition est nécessaire d'après la question 4 ci-dessus.
La fonction test_stieltjes() ci-dessous est écrite en langage Python. Elle est incomplète. Elle a comme paramètre d'entrée un tableau unidimensionnel (de type array) comportant une suite finie de nombres réels .
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test_stieltjes() renvoie la valeur 1 si la condition est satisfaite et renvoie la valeur 0 sinon.
On notera que la fonction eigvalsh() de la librairie numpy. linalg renvoie un tableau unidimensionnel contenant les valeurs propres d'une matrice symétrique donnée en paramètre.
On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).
import numpy as np
import numpy.linalg as al
def test_stieltjes(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    m = 1+ N // 2
    H = np.zeros((m, m))
    for n in range(1, m+1): # taille de la matrice H_n
        for i in range(_______, ________):
            H[i, n-1] = U[i+n-1]
            H[n-1, i] =
        valp = al.eigvalsh(H)
        for k in range(0, _-_-_-___):
            if (__-_-_-_-_-_-_-_-___):
                return __-_
    return __-_

II.2) Non unicité des solutions

On définit la fonction par
  1. Soit . Montrer que les intégrales
existent (on convient que ).
On note dans la suite
  1. Montrer que . On admet que .
  2. Montrer que pour tout on a
  1. En déduire que pour tout on a
ù
  1. En déduire que pour tout
  1. Calculer et en déduire que pour tout
  1. En utilisant le changement de variable dont on justifiera la validité, montrer que:
  1. Montrer qu'il existe deux fonctions et positives, distinctes, continues sur et telles que pour tout les deux intégrales
existent et sont égales.
17. Que peut-on conclure par rapport au problème quand ?

Partie III : le problème de Hausdorff

Dans toute cette partie, on suppose que .

III.1) Une condition nécessaire d'existence

On suppose dans ce paragraphe III. 1 que le problème avec admet une solution notée à nouveau . On note une densité de adaptée à .
18. Montrer que pour tout .
19. Plus généralement, montrer que pour tous et , on a
  1. On suppose dans cette question seulement que et .
Montrer que .
21. Revenons au cas général. Montrer que pour tout , la série de terme général est convergente.
Cette affirmation reste-t-elle vraie quand ?
III.2) Un test en langage Python pour le problème de Hausdorff
Revenons à la condition (7) ci-dessus. Pour tous et on pose
Soit . On dit que la condition (7) est vraie à l'ordre si
  1. Exprimer en fonction de .
  2. Montrer que pour tout et tout on a

24. Python

La fonction test_hausdorff() ci-dessous est écrite en langage Python. Elle est incomplète. Elle a comme paramètre d'entrée un tableau unidimensionnel U (de type array) comportant une suite finie de nombres réels . Ici est calculé à partir de la taille de en utilisant la fonction len() qui renvoie la taille du tableau.
Compléter les parties soulignées en pointillé afin que la fonction test_hausdorff()renvoie un couple comportant les deux éléments suivants :
→ un entier info tel que:
  • info si la condition est satisfaite pour tout .
  • info est égal au plus petit entier pour lequel n'est pas satisfaite sinon.
→ un tableau bidimensionnel Delta de taille comportant les coefficients pour et (on pose si ).
On reproduira sur la copie le programme après l'avoir complété (sans les commentaires).
import numpy as np
def test_hausdorff(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    Delta = np.zeros((N+1, N+1))
    info = -1
    for k in range(__-_,_-_-___):
        Delta[k, 0] = U[__]
        if ((__-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-__) and (info == -1 )):
                info = k
        for j in range(____-_ , _________):
            Delta[k, j] =
            if ( (__________-___________) and (________________)):
                info =
    return (info, Delta)

25. Python

def test3():
    N = 10
    U = np.zeros(N+1)
    for k in range(0, N+1):
        U[k] = 1.0/(k+1) # correspond a une loi uniforme
    V=test_hausdorff (U)
    \mathrm { U[3] } \mathrm { = } \mathrm { 0.16 }
    W=test_hausdorff (U)
    return V,W
On tape dans la console
>>> V,W=test3()
Quelles seront les valeurs de et retournées ?
III.3) Unicité de solutions à densité de classe .
On suppose dans ce paragraphe que et sont solutions du problème avec . On note et des densités de et respectivement adaptées au problème . On suppose les restrictions de et sur de classe sur . On pose et on considère la suite de fonctions polynomiales , définies par:
  1. Montrer qu'il existe une constante réelle telle que
  1. Soient et fixés tous les deux. Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans . On pose
(a) Montrer que
(b) En déduire que
  1. Montrer que pour tout et tout on a
  1. Montrer que pour tout on a
  1. En déduire que pour tout , on a
  1. En déduire que . Conclure.

III.4) Problème de Hausdorff tronqué

Pour tout , on définit trois fonctions
On admet que, pour tout , la fonction est continue sur .
32. Montrer qu'il existe une constante telle que
  1. Soit .
    (a) Montrer que admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en tout point et que pour tout
On admet que admet une dérivée partielle par rapport à sa seconde variable en tout point et que pour tout
(b) Pour tout , en déduire l'identité,
(c) Montrer que pour tout et pour tout on a
  1. Soit .
    (a) Exprimer en fonction des dérivées partielles des .
    (b) En déduire que pour tout tel que on a
(c) En déduire que les valeurs propres de la matrice sont strictement positives.
(d) Dans cette question, on suppose qu'il existe une variable aléatoire solution de et de densité adaptée à telle que
Montrer que admet alors un minimum (local) en ( ).

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