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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2016

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
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Banque
BCE
Année
2016
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2016ECS MathématiquesMathématiques 2016

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2016.

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Conception : HEC Paris - ESCP Europe

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES II

Mercredi 4 mai 2016, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
La simulation de vecteurs aléatoires dont les composantes ne sont pas indépendantes intervient dans l'évaluation de risques cumulés dans des domaines tels que l'assurance, la finance, la médecine ou l'écologie.
On résume les liaisons entre les composantes à l'aide de fonctions de plusieurs variables appelées copules.
L'objet du problème consiste à présenter cette notion de copule dans le cadre de la simulation d'un vecteur aléatoire à deux composantes.
On suppose que toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définis sur un même espace probabilisé ( ).
On rappelle que la loi d'un vecteur aléatoire ( ) à valeurs dans est caractérisée par la fonction définie sur par: . On dit que est la fonction de répartition conjointe de et .

Partie I. Simulation d'une variable aléatoire à densité.

1.a) Justifier la convergence de l'intégrale .
b) Soit une variable aléatoire telle que [ suivant la loi uniforme sur [ [.
On pose : . Montrer que est une variable aléatoire à densité.
c) En déduire que la fonction est une densité de probabilité.
2.a) Compléter le code Scilab de la fonction simulX suivante de sorte que son application à l'entier fournisse une matrice colonne contenant simulations indépendantes de la variable aléatoire .
function x=simulX(N)
    u=rand(...,...);
    x=ones(u); // matrice de même format que u.
    for i=1:N
        x(i,1)=.....
    end ;
endfunction
b) Après avoir affecté une valeur entière supérieure ou égale à 2 à la variable , on exécute les commandes suivantes:
x=simulX(N);
y=0 ;
for i=1:N if x(i,1)>1 then y=y+1; end; end;
q=y/N;
Trouver la loi d'une variable aléatoire dont la valeur de est, en fin de boucle, une simulation.
De quel nombre peut-on s'attendre que soit proche lorsque la valeur affectée à est grande et pourquoi?
3. Soit une variable aléatoire à densité dont la fonction de répartition est notée .
Soit un réel de . On pose : et .
a) Justifier que les deux ensembles et ne sont pas vides et montrer que si et , on a nécessairement : .
b) On pose : . Justifier l'existence de et établir l'égalité : .
c) En déduire pour tout réel, l'équivalence : .
d) Soit une variable aléatoire telle que [ et qui suit la loi uniforme sur ] 0,1 [.
Montrer que la variable aléatoire suit la même loi que .
e) On suppose que admet pour densité la fonction définie dans la question 1.c) et que n'est plus fixé. Déterminer la fonction définie sur ] .

Partie II. Fonction de répartition conjointe de deux variables aléatoires de lois uniformes.

  1. Soit ( ) un couple de variables aléatoires et la fonction de répartition conjointe de et . Soit .
    a) Montrer que la fonction est croissante sur .
    b) Établir l'égalité : .
    c) Montrer que tend vers lorsque tend vers .
    d) Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
    e) Soit des réels vérifiant : et . On pose : et .
    (i) Exprimer la probabilité en fonction de et .
    (ii) Établir l'égalité : .
Dans les questions 5 et 6 , on note et deux variables aléatoires suivant chacune la loi uniforme sur et leur fonction de répartition conjointe.
On note la restriction de à .
Pour tout couple , on pose : et .
Pour , on note l'événement contraire de l'événement .
On rappelle que si deux vecteurs aléatoires et ont même loi et si est une fonction continue sur à valeurs dans , alors les variables aléatoires et ont même loi.
5.a) Comparer pour tout , les trois événements : et .
b) Justifier pour tout , la double inégalité : .
c) En déduire l'encadrement suivant: .
6.a) Calculer selon les valeurs du couple de .
b) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé une ligne de niveau pour la fonction de deux variables , correspondant à une valeur de la fonction strictement comprise entre 0 et 1 .
Hachurer sur la même figure, l'ensemble des couples pour lesquels .
c) Montrer que est égale à si et seulement si les variables aléatoires et sont égales presque sûrement.
d) Calculer la fonction de répartition conjointe et donner une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit égale à .

Partie III. Copules.

On appelle copule toute fonction définie sur , à valeurs réelles, vérifiant les trois propriétés suivantes :
  • ;
  • ;
  • et .
On appelle copule à densité toute copule dont la restriction à l'ouvert est de classe sur .
7. Exemples. On reprend le contexte et les notations du préambule des questions 5 et 6.
a) Vérifier que est une copule. Dans la suite (Partie IV), on l'appelle la copule associée au couple ( ).
b) En déduire que ainsi que la fonction définie sur par sont des copules.
8. Soit une copule à densité et .
Pour tout couple de réels non nuls tels que , on pose :
a) Soit un réel non nul tel que .
Justifier que admet une limite lorsque tend vers 0 et exprimer à l'aide de la dérivée partielle de par rapport à sa seconde variable.
b) On note la dérivée partielle seconde croisée de sur et on rappelle que . Trouver la limite de lorsque tend vers 0 et en déduire que .
9. Soit une fonction définie sur , à valeurs réelles, continue sur et de classe sur .
Pour tout , on pose : .
a) Pour tout , justifier l'égalité : .
b) Soit et des réels tels que : . Pour tout , on pose : Vérifier pour tout , les inégalités strictes suivantes : .
c) On pose : .
On suppose que la fonction est positive ou nulle sur . Montrer que est positive ou nulle sur .
d) En déduire que, pour que la fonction soit une copule, il suffit qu'elle vérifie les trois propriétés suivantes :
  • ;
  • ;
  • .

Partie IV. Familles de copules et simulation.

  1. Soit la fonction définie sur par: .
    a) Montrer que la fonction admet sur un minimum global et un maximum global et les calculer.
    b) Montrer que est une copule à densité.
    c) Soit et la fonction définie sur par: . Pour quelles valeurs de la fonction est-elle une copule?
  2. Soit une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre et quatre variables aléatoires suivant chacune la loi uniforme sur .
    On suppose que et sont mutuellement indépendants, autrement dit, on suppose que pour tout , on a :
a) Pour tout , on pose : et .
Montrer que et sont des variables aléatoires et suivent chacune la loi uniforme sur .
b) Exprimer la copule associée au couple à l'aide des copules associées aux deux couples et .
12. Soit et la fonction définie sur par: .
a) Montrer que est une copule.
b) Proposer une méthode de simulation d'un couple aléatoire ( ) auquel est associée la copule et donner le code Scilab d'une fonction simulc réalisant cette simulation pour toute valeur donnée de . Cette fonction aura pour seul argument le paramètre et retournera le couple .
13. Soit et deux variables aléatoires à densité, de fonctions de répartition respectives et .
Pour tout , on pose : .
Soit la fonction définie sur par : .
Montrer que est une copule. En déduire un procédé de simulation du couple ( ) à partir de la simulation ( ) d'un couple ( ) auquel la copule est associée.

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