Mardi 7 mai 2013, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé ( ) et à valeurs réelles.
L'objectif du problème est d'introduire une famille de lois de probabilité discrètes, dites lois de Poisson mélangées, qui jouent un rôle important en mathématique de l'assurance, car elles permettent de modéliser le nombre d'apparitions d'événements aléatoires provenant de sources hétérogènes.

Pour tout réel et tout entier naturel , on pose : .
On associe aux fonctions polynomiales , les polynômes de , dits polynômes factoriels ascendants.
1.a) Vérifier les égalités : et .
b) Exprimer comme combinaison linéaire des polynômes et .
c) Justifier plus généralement que les polynômes de la base canonique de sont tous des combinaisons linéaires de polynômes factoriels ascendants.
2. Soit ( ) un couple de réels et un entier naturel.
a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire pour tout , la relation : .
c) Montrer par récurrence que pour tout , on a : .
3. Dans cette question, est un réel strictement positif et est un réel fixé de . Pour tout , on pose :

a) Calculer .
b) En déduire l'existence d'un entier naturel tel que pour tout , on ait : .
c) Quelle est la limite de la suite ?
d) À l'aide d'une formule de Taylor que l'on citera avec ses hypothèses, justifier pour tout , l'égalité :

e) Montrer que pour tout , on a : . En déduire pour tout , l'inégalité : .
f) Déduire des résultats précédents que la série de terme général est convergente et que :

Dans toute la suite du problème, on dit qu'une variable aléatoire définie sur ( )à valeurs dans suit la loi binomiale négative de paramètres et , si pour tout entier naturel , on a:

Soit et deux variables aléatoires définies sur . On dit que est stochastiquement inférieure à lorsque pour tout réel , on a : .
7. Montrer que si les deux variables aléatoires et vérifient pour tout l'inégalité , alors est stochastiquement inférieure à .
8. On suppose que suit la loi normale d'espérance égale à -1 et de variance égale à 1 , que suit la loi normale d'espérance égale à 1 et de variance égale à 1 et que et sont indépendantes.
a) Exprimer à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
b) Montrer que est stochastiquement inférieure à .
c) A-t-on pour tout , l'inégalité ?
9. On suppose que et sont discrètes à valeurs dans . Montrer que est stochastiquement inférieure à si et seulement si, pour tout , on a : .
10. Soit et deux réels vérifiant , et soit et deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement la loi de Poisson de paramètre et la loi de Poisson de paramètre .
a) Rappeler la loi de en citant précisément le résultat de cours utilisé.
b) Soit une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre . Montrer que est stochastiquement inférieure à .
11. Pour tout et pour tout réel , on pose : .
a) Écrire en Pascal une fonction d'en-tête function suite (k : integer ; t :real) :real; qui permet de calculer .
b) Établir pour tout et pour tout réel , l'existence d'un unique réel strictement positif vérifiant l'égalité suivante : .
12. Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans de fonction de répartition .

On note et les deux applications de dans , définies par : . Soit un réel vérifiant .
a) Justifier l'existence de et comparer les réels et .
b) Montrer que et sont des événements. Qu'en déduit-on pour les applications et ?
c) Exprimer et à l'aide de et .
d) Soit une variable aléatoire à densité qui suit la loi uniforme sur le segment .

Montrer que est stochastiquement inférieure à et que est stochastiquement inférieure à .
13. Pour entier supérieur ou égal à 2 , soit un -échantillon i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de Poisson de paramètre inconnu . On pose pour tout .
Les notations et sont celles de la question 11 .
a) Proposer un estimateur sans biais de .
b) Soit un réel tel que .

À l'aide de la question 12 , établir les deux inégalités suivantes:

c) On pose : et .

Déduire des questions précédentes que et sont les bornes d'un intervalle de confiance de risque inférieur ou égal à pour le paramètre inconnu .

Dans cette partie, est une variable aléatoire à densité dont une densité est nulle sur et continue sur .
14. Justifier pour tout , la convergence de l'intégrale .
15. On pose pour tout et .
a) Soit un réel strictement positif et une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre . Établir pour tout , l'encadrement suivant : .
b) Montrer que la série est convergente et que .

On dit qu'une variable aléatoire à valeurs dans suit la loi de Poisson mélangée associée à la densité , notée , si pour tout entier naturel n, on a : .
16. La notation désigne la fonction exponentielle. Soit un réel strictement positif et un réel vérifiant . On suppose dans cette question qu'une densité de est donnée par :

a) Reconnaître la loi de . Donner (sans démonstration) l'espérance et la variance de .
b) Montrer que est la loi binomiale négative .
17. Soit et deux couples de réels vérifiant et . On note et trois variables aléatoires qui suivent les lois et , respectivement.
a) Montrer que est stochastiquement inférieure à .
b) À l'aide de la question 16, en déduire que est stochastiquement inférieure à .