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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2008

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiquesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2008
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2008ECS MathématiquesMathématiques 2008

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2008.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
580e7891-2a2c-4b7c-a912-f249e1d9c100
CODE EPREUVE :
283
CCIP_M2_S

Concepteur : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mercredi 7 mai 2008, de 14 h . à 18 h .
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( ). Sous réserve d'existence, on note et respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle quelconque. Pour toute variable aléatoire réelle admettant une densité sur , notée , on note l'ensemble des réels pour lesquels la variable aléatoire admet une espérance, et on note la fonction définie sur par : .
On admet les résultats suivants :
  • si deux variables aléatoires et sont telles que et coïncident sur un intervalle ouvert non vide, alors et ont la même loi ;
  • si est un entier naturel non nul, et des variables aléatoires réelles quelconques, mutuellement indépendantes, alors, pour tout entier de et pour toutes fonctions réelles continues et , les variables aléatoires et sont indépendantes;
  • si et sont des variables aléatoires indépendantes admettant une espérance, alors admet une espérance, et .
    La fonction exponentielle est également notée exp. On rappelle que : .
    Dans tout le problème, désigne une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.

Préliminaire

On rappelle que, pour tout de , on a : .
  1. Soit un réel non nul et un réel quelconque.
    a) Montrer que l'intégrale est convergente si et seulement si , et vaut alors .
    b) En déduire que l'intégrale est convergente si et seulement si , puis montrer que dans ces conditions, on a : .
  2. a) Déterminer ; pour tout de , calculer .
    b) On pose : . Établir que : [; montrer, à l'aide du théorème de transfert, que pour tout réel de , on a : .
  3. Soit une variable aléatoire réelle à densité, et soit et deux réels quelconques.
    a) Montrer qu'un réel appartient à si et seulement si appartient à , et que dans ce cas, on a : .
    b) On suppose que suit une loi de paramètre , où est un réel strictement positif.
Montrer que : [; pour tout de , établir la formule : . De même, déterminer ; pour tout de , calculer .

Partie I. Loi du centré

Soit un entier supérieur ou égal à 1 . On considère une variable aléatoire suivant la loi de paramètres , c'est-à-dire que possède une densité donnée par :
On dit que suit une loi du («chi deux») centré à degrés de liberté, et on note : .
  1. Étudier les variations de et tracer sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
  2. a) Montrer que la variable aléatoire suit une loi de paramètre . En déduire et .
    b) Déterminer ; pour tout de , calculer .
  3. Soit un entier de . On considère variables aléatoires indépendantes de même loi que . Pour tout de , on pose : .
    a) Vérifier que et sont de même loi.
    b) On pose : . Quelle est la loi de probabilité de ?
    c) Déterminer , et pour tout de , exprimer en fonction de et de . Établir une relation entre et .
  4. Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, de variance inconnue, étant un réel strictement positif. Pour entier supérieur ou égal à 2 , on dispose d'un -échantillon indépendant, identiquement distribué (i.i.d.), de la loi de . On considère la variable aléatoire définie par : .
    a) Montrer que est un estimateur sans biais et convergent du paramètre .
    b) Soit un réel vérifiant : , et soit le réel strictement positif tel que : . Montrer que l'intervalle est un intervalle de confiance de au risque .

Partie II. Loi du décentré

On considère une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé , mutuellement indépendantes, telles que pour tout de suive la loi normale d'espérance et de variance égale à 1 .
Pour entier de , on pose : et .
On dit que suit une loi du décentré à degrés de liberté, de paramètre de décentrage , et on note: .
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que l'entier est égal à 1 .
    a) Montrer les deux égalités suivantes : et .
    b) En déduire, en fonction de , les valeurs respectives de et de .
    c) Montrer que : [ et établir, pour tout réel de , la formule suivante :
  1. Soit un entier de .
    a) Calculer et en fonction de et .
    b) On admet que l'on a : [. Pour tout de , exprimer en fonction de et .

Partie III. Nombre aléatoire de degrés de liberté

Sur un espace probabilisé ( ), on considère une variable aléatoire à valeurs dans admettant une espérance , et une variable aléatoire à valeurs dans . On note l'ensemble des entiers naturels vérifiant , et on suppose que pour tout entier de , la variable aléatoire admet une espérance pour la probabilité conditionnelle , notée .
On admet alors l'égalité suivante :
Soit l'application définie sur par : .
  1. Vérification de la formule ( ) sur un exemple.
Soit une suite de variables aléatoires définies sur ( ), indépendantes et de même loi uniforme sur l'intervalle . Pour tout de , on pose : ; autrement dit, pour tout de , . Soit une variable aléatoire définie sur ( ) qui suit la loi uniforme discrète sur . On suppose que est indépendante des variables aléatoires de la suite .
Pour tout de , on pose : , et on admet que est une variable aléatoire définie .
a) Établir, pour tout entier de et pour tout réel , la relation : .
b) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
c) En déduire que est une variable aléatoire à densité, qui admet une espérance que l'on exprimera en fonction de .
d) Vérifier l'égalité ( .
2. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée réduite. Soit une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de la suite , qui suit la loi de Poisson de paramètre strictement positif.
Pour entier de , on pose : . On admet que est une variable aléatoire à densité à valeurs positives, et que .
Soit un réel de .
a) Montrer que pour tout de , la loi conditionnelle de sachant est la loi de la variable aléatoire définie dans la question I.3.b.
b) En posant : , déterminer, pour tout entier de , l'expression de en fonction de .
c) Établir la formule suivante :
d) En utilisant l'égalité ( ), admise au début de cette partie, avec , déterminer la loi de .
e) À l'aide de la question III.2.a, montrer que pour tout entier supérieur ou égal à 3 , on a :

Partie IV. Estimateur de James-Stein

Soit un entier supérieur ou égal à 3 . On suppose qu'un modèle aléatoire défini sur ( ) comporte paramètres réels inconnus non tous nuls. Un échantillon d'observations statistiques permet d'exhiber des estimateurs sans biais des paramètres respectivement. On suppose que les variables aléatoires sont indépendantes et suivent une loi normale de variance égale à 1 .
On pose : et .
On dit que le vecteur aléatoire est un estimateur sans biais du paramètre vectoriel , et est alors le vecteur .
On définit le risque quadratique scalaire d'un estimateur de , noté , par :
Dans cette partie, on cherche un estimateur de , représenté par un vecteur aléatoire , dont le risque est strictement inférieur à .
  1. Justifier que la variable aléatoire suit la loi , et qu'elle constitue un estimateur biaisé de .
  2. On pose : , où est un paramètre réel strictement positif. Soit une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre .
    a) En admettant que l'on a : , établir l'égalité suivante :
b) Montrer que l'inégalité : , est vérifiée si et seulement si : . Déterminer en fonction de , la valeur de pour laquelle est minimale.
Comment s'écrit alors l'estimateur ?

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