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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2007

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiques
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2007.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
46052e61-737e-4013-a4f9-26e4e01cbf09

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE SUJET :
283
CCIP_M2_S

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION : SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mercredi 9 Mai 2007, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Pour toute variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ( ) et possédant une espérance mathématique, on note cette espérance pour la probabilité .
Pour tout événement de tel que , on note, sous réserve d'existence, l'espérance de pour la probabilité conditionnelle (espérance conditionnelle de sachant ).

Partie I.

Cette partie constitue une application particulière des résultats généraux étudiés dans la suite du problème.
On possède urnes ( ) numérotées de 1 à , dans lesquelles on répartit au hasard et de façon indépendante, boules indiscernables ( ), de sorte que, pour tout de , la probabilité pour chaque boule d'être placée dans l'urne numéro soit égale à .
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( ).
À l'issue de cette expérience, on pose pour tout de :
On pose .
  1. a) Déterminer pour tout de , la loi de la variable aléatoire .
    b) Pour tout couple d'entiers de distincts, calculer , ainsi que la covariance de et . Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
  2. a) Exprimer l'espérance de en fonction de et .
    b) On note la variance de . Calculer en fonction de et .
    c) Vérifier l'égalité : .
En déduire que .
3. Dans cette question, l'entier vérifie , où est une constante réelle positive et désigne la partie entière de .
a) Calculer .
b) Montrer que .
c) Soit une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre .
On admet que pour tout de , on a :
Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires ?
4. On pose , et on suppose que le paramètre est inconnu. Dans cette question, on veut estimer . Pour entier de , on considère un -échantillon indépendant, identiquement distribué ( ) de la loi de Poisson de paramètre . On pose :
a) Montrer que est un estimateur sans biais et convergent du paramètre .
b) Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires ?
c) On veut construire, pour assez grand, un intervalle de confiance du paramètre au risque donné. Soit le réel strictement positif tel que , où est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Justifier que pour assez grand, on peut écrire : , et déterminer alors un intervalle de confiance pour au risque .

Partie II

Dans cette partie, désigne un réel strictement positif.
Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé qui suit une loi de Poisson de paramètre .
Soit une partie quelconque de et son complémentaire dans . On rappelle que si est non vide, alors, , et on pose par convention .
On considère la fonction définie sur par , et pour tout de :
  1. a) Déterminer la fonction dans les cas particuliers et .
    b) Donner l'expression de en fonction de et de dans les deux cas suivants : et . Exprimer en fonction de et de dans le cas où 0 et 1 appartiennent à .
  2. Soit et deux parties de disjointes.
    a) Montrer que .
    b) En déduire que .
  3. a) Montrer que pour tout de , la fonction vérifie la relation suivante :
b) En déduire que si est non vide et distincte de , la fonction n'est pas identiquement nulle.
4. Dans cette question, est un entier naturel non nul, et est le singleton . On pose .
a) Pour tout de , montrer l'égalité suivante :
b) Calculer , et déterminer son signe.
c) Calculer pour tout de , différent de en distinguant les deux cas : et . En déduire que la différence est positive si et seulement si .
d) Établir les inégalités suivantes : .
5. On considère le singleton et on pose . Montrer, pour tout de , l'inégalité suivante : .
6. a) Établir pour tout de , l'inégalité suivante : . (on distinguera les deux cas : et )
b) En déduire, pour toute partie de , l'inégalité suivante :

Partie III.

Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On considère variables aléatoires discrètes indépendantes définies sur un même espace probabilisé ( ), telles que pour tout de , la variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre strictement positif.
On pose et, pour tout de .
On note une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre . Soit une partie quelconque de , et la fonction définie dans la partie II, dans l'expression de laquelle on remplace par et par . On pose .
  1. a) Établir pour tout de , l'égalité des deux variables aléatoires et .
    b) En déduire pour tout de , l'égalité : .
  2. Pour tout de , on pose : . Établir la relation suivante : .
  3. a) Établir pour tout de , la formule suivante :
b) Calculer pour tout de .
c) Déduire des questions précédentes l'égalité suivante :
  1. Établir l'inégalité suivante :
  1. À l'aide de la question II.3.a, montrer, pour toute partie de , l'égalité suivante :
En déduire, pour toute partie de , la majoration suivante :
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que pour tout de suit la loi de Bernoulli de paramètre .
    a) Déterminer . Montrer que .
    b) Déterminer la limite en loi de la suite .

Partie IV.

Les notations sont identiques à celles de la partie III, mais les variables aléatoires définies sur ( ), ne sont pas nécessairement indépendantes.
  1. a) Montrer que pour tout de , on a : .
    b) En déduire l'égalité suivante : .
  2. On suppose que pour tout de , il existe une variable aléatoire définie sur ( ), à valeurs dans , telle que la loi de soit identique à la loi conditionnelle de sachant [ ].
    a) Justifier, pour tout couple d'entiers naturels, l'inégalité : , et en déduire la majoration suivante: .
    b) On suppose de plus que pour tout de , pour tout de , on a . Établir l'égalité : , où désigne la variance de .
    En déduire, pour toute partie de , l'inégalité suivante :

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