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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2001

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2001ECS MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2001.

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54fbf07f-cc1e-4b1b-99f3-00421492932d

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mercredi 9 Mai 2001, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'objet du problème est l'étude de quelques aspects de la théorie classique du risque dont le contexte et les notations sont introduits au fur et à mesure.
Dans tout le problème, on considère deux suites de variables aléatoires réelles et , définies sur un même espace probabilisé ( ), vérifiant les conditions suivantes:
i) les variables aléatoires sont indépendantes,
ii) les variables aléatoires sont strictement positives et ont toutes la même densité égale sur à la densité d'une variable aléatoire exponentielle d'espérance égale à 1 ,
iii) les variables aléatoires ont toutes la même densité qu'une variable aléatoire exponentielle d'espérance égale à .
On pose et, pour tout entier naturel non nul, on note la variable aléatoire définie par:
On observera que la suite est strictement croissante et que, pour tout entier naturel , on a l'égalité : .
On notera l'espérance d'une variable aléatoire définie sur ( ).

Partie I Étude d'une variable aléatoire

  1. Pour tout entier naturel , déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
  2. Soit un réel positif ou nul.
    a) Pour tout entier naturel strictement supérieur à , justifier l'inclusion entre événements :
b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en déduire la valeur de .
c) En déduire que l'événement est de probabilité nulle.
3) Soit un réel positif ou nul. Étant donné un élément de , on note le plus grand élément de l'ensemble (qui contient 0 ) si cet ensemble est fini, et sinon.
On observera que, pour tout entier naturel non nul, est égal à si et seulement si : . Montrer que l'application est une variable aléatoire réelle vérifiant : .
4) a) Pour tout entier naturel non nul, reconnaître la loi de la variable aléatoire .
b) Soit un réel strictement positif. Pour tout entier naturel non nul, justifier l'égalité:
En déduire l'égalité : .
c) Pour tout réel positif ou nul, reconnaître la loi de la variable aléatoire .

Partie II Étude de la probabilité d'être en déficit après le premier ou le second sinistre

Dans cette partie on considère deux réels et étant strictement positif et, pour tout réel positif , on note la variable aléatoire définie par l'égalité : en convenant que la somme est nulle lorsque est nul.
En particulier, et, pour tout entier naturel non nul, puisque ,
Par exemple, pourrait représenter le capital (aléatoire) au temps d'une compagnie d'assurance disposant d'un capital initial (de montant a éventuellement négatif), percevant des primes (de montant égal à par unité de temps), et indemnisant des assurés victimes de sinistres de coûts aléatoires (les ) survenant à des dates elles-mêmes aléatoires (les ).
Dans cette partie, le réel a étant fixé, la variable aléatoire sera notée plus simplement .
  1. a) Déterminer une densité de probabilité de la variable aléatoire .
    b) Déterminer une densité de probabilité , continue sur , de la variable aléatoire .
    c) En déduire l'expression de la fonction de répartition de la variable puis l'égalité :
  1. On pose et on considère la fonction associant à tout réel le réel
a) Pour tout réel strictement positif, justifier les inégalités :
et
b) En déduire que la fonction est dérivable à droite sur avec, pour tout réel . On admet que est dérivable sur avec, pour tout réel .
3) a) Prouver l'égalité
b) En déduire l'égalité:
c) Établir les égalités :
  1. En déduire, dans le cas où a est un réel positif ou nul, l'égalité:

Partie III Étude de la probabilité d'être en déficit au cours du temps : deux premiers cas

Dans cette partie, le réel a n'étant plus nécessairement fixé, on utilisera la notation .
Pour tout réel , on note la probabilité suivante:
Dans le contexte décrit plus haut, représenterait la probabilité que la compagnie d'assurance (disposant d'un capital initial de montant a) soit en déficit après un sinistre. En particulier si .
  1. Montrer que la fonction est décroissante.
  2. Pour tout réel , quelles minorations de peut-on déduire de la partie II?
  3. On admet que la fonction est continue sur et vérifie, pour tout réel a positif ou nul l'égalité:
Pourquoi, intuitivement, peut-on conjecturer cette égalité?
4) Soit un réel et un entier naturel.
a) Calculer l'espérance de en fonction de et . Trouver sa limite quand tend vers l'infini, selon les valeurs comparées de et .
b) Calculer la variance de en fonction de et .
5) Dans cette question, on suppose que est strictement plus grand que et on considère un réel positif ou nul.
a) Pour tout entier strictement supérieur à , établir l'inégalité:
b) En déduire l'égalité : .
6) Dans cette question, on suppose que est égal à et on considère un réel positif ou nul.
a) Soit un nombre réel. En remarquant que, pour tout entier naturel non nul, on a l'égalité
et, à l'aide du théorème de la limite centrée, exprimer le réel , en utilisant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
b) Pour tout nombre réel strictement positif fixé, établir, pour tout entier naturel assez grand, la double inégalité :
c) En déduire la limite de la probabilité quand tend l'infini puis l'inégalité : .
Partie IV Étude de la probabilité d'être en déficit au cours du temps : le dernier cas
Dans cette partie, on suppose que est strictement plus petit que .
  1. a) En procédant par récurrence, établir, pour tout entier naturel et tout réel positif ou nul, l'inégalité:
b) En déduire, pour tout réel a positif ou nul, la minoration :
  1. a) Montrer que pour tout réel positif vérifiant , la variable possède une espérance qu'on calculera.
    b) Soit un entier naturel non nul. On pose . Pour tout réel positif vérifiant , justifier l'égalité :
  1. a) Pour tout réel positif vérifiant , tout réel a positif ou nul et tout entier naturel non nul, établir l'inégalité:
b) En décluire que tout réel élément de [, la série de terme général converge et qu'on a l'inégalité :
  1. En remarquant que, pour tout réel a positif ou nul, , établir les résultats suivants :
    i) ,
    ii) Pour tout réel vérifiant , et tout réel assez grand, on a l'inégalité : (on introduira un réel vérifiant ).
  2. a) Montrer que si une fonction est continue sur et de limite nulle en , alors la fonction a un maximum sur .
    b) Soit et deux fonctions continues sur , toutes deux de limite nulle en , vérifiant pour tout réel a positif ou nul, les égalités :
Montrer que les fonctions et coïncident sur .
c) Établir, pour tout réel a positif ou nul, l'égalité suivante:

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