La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Toutes les variables aléatoires de ce problème sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( ). On rappelle que pour tout réel, désigne la partie entière de , c'est à dire le nombre entier relatif vérifiant .
Si est un ensemble fini non vide, on note le nombre d'éléments de . Si , on convient que .
Pour les programmes en Python, on suppose importées :
la bibliothèque numpy sous l'alias np,
la bibliothèque numpy.random sous l'alias rd,
la bibliothèque matplotlib.pyplot sous l'alias plt.
Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.
Première partie
Soit une densité de probabilité sur une variable aléatoire réelle ayant pour densité et sa fonction de répartition.
Soit un échantillon de , c'est-à-dire une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, de même loi que .
Pour tout entier , on ordonne, pour chaque , le -uplet en :
et on admet que les applications ainsi définies sont des variables aléatoires réelles sur .
Pour tous entiers tels que , la variable aléatoire donne la -ième valeur obtenue en classant dans l'ordre croissant les valeurs prises par les premières .
On remarque en particulier que et .
Soit .
(a) Exprimer, à l'aide de , la fonction de répartition de la variable aléatoire . En déduire que admet comme densité la fonction définie par :
(b) Par une méthode similaire, montrer que admet comme densité définie par :
Soit et soient et deux entiers tels que .
Pour tout , on note la variable aléatoire indicatrice de l'événement . C'est à dire
(a) Montrer que suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
(b) Montrer l'égalité entre les événements :
(c) En déduire que la fonction de répartition de la variable aléatoire est donnée par :
Pour tout triplet d'entiers tel que et , on introduit les fonctions polynomiales et définies respectivement par, pour tout :
On convient également que pour tout , la fonction est identiquement nulle.
(a) Soient et . Montrer que pour tout :
(b) Soient et . Déduire de la question précédente une expression de en fonction de l'une des fonctions avec et à déterminer en fonction de et .
(c) Soient et . Montrer que la variable aléatoire admet comme densité définie par :
Soit un réel tel que .
(a) Soient et tel que .
Montrer que pour tout entier suffisamment grand, on a l'inclusion d'événements :
et en déduire que :
(b) Soient et tel que .
Montrer que pour tout :
et en déduire que :
On suppose pour cette question qu'il existe un intervalle ouvert , avec éventuellement ou , tel que est continue sur pour tout et pour tout .
(a) Montrer que la fonction de répartition associée établit une bijection entre les intervalles et .
(b) On note la bijection réciproque de la fonction restreint à et on fixe .
Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire certaine égale à .
(c) En déduire que la suite de variables aléatoires ( ) converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à de .
6. Dans cette question, on souhaite écrire une fonction Python d'en-tête def tri(T): permettant de trier dans l'ordre croissant les valeurs d'un tableau unidimensionnel T (de type numpy -array) sans utiliser de fonction de tri prédéfinie dans Python.
Pour cela, on utilise un algorithme de tri appelé tri par insertion et défini de la façon suivante:
On agit sur les coefficients du tableau T , que l'on suppose numérotés de 0 à .
Pour chaque compris entre 1 et , avant l'étape les coefficients numérotés 0 à de T ont déjà été classés dans l'ordre croissant, les coefficients suivants étant inchangés. L'étape consiste alors à insérer la valeur du coefficient numéroté de T en bonne position parmi les premiers coefficients de T afin qu'à l'issue de l'étape les coefficients numérotés 0 à de T soient classés dans l'ordre croissant, les coefficients suivants étant inchangés.
Par exemple en partant du tableau T dont le contenu est [ 3828352431 15], les étapes de l'algorithme de tri par insertion donnent successivement :
Le tri doit être <<en place >>, c'est à dire que le tableau se retrouve trié en fin de fonction au lieu de retourner un autre tableau, version triée du premier.
Écrire la fonction tri demandée en mettant en œuvre l'algorithme de tri par insertion décrit ci-dessus.
7. On écrit le programme Python suivant à la suite de la fonction tri :
def ech(n):
*****
def X(n,k):
res = ech(n)
*****
n = 2000 ; na = 20
A = np.linspace(0.01, 0.99, na)
B = np.zeros(na)
for k in range(na):
a = A[k]
B[k] = X(n, int(np.floor(a*n)))
plt.plot(A, B, "xk")
plt.show()
La fonction ech, que l'on suppose déjà écrite pour les trois questions suivantes ( et ), renvoie, sous la forme d'un tableau unidimensionnel de longueur , une réalisation du -uplet de variables aléatoires .
(a) Compléter la fonction X afin qu'elle renvoie une réalisation de la variable aléatoire lorsqu'on lui fournit en entrée deux entiers de type Python int et tels que . On pourra utiliser la fonction tri.
(b) En exécutant le programme, on obtient l'affichage suivant:
À quoi correspondent les points affichés sur cette représentation graphique?
(c) Utiliser la représentation graphique pour déterminer la loi commune des simulées par la fonction ech.
(d) Compléter le corps de la fonction ech par une ou plusieurs lignes de code pour que le script produise une représentation graphique de valeurs simulées proche de la représentation graphique ci-dessus.
Deuxième partie
On s'intéresse dans cette partie au cas où est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi exponentielle , avec .
8. Soit fixé.
(a) On note une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que :
pour tout suit la loi exponentielle .
Pour tout , on note de plus .
Montrer par récurrence sur que la variable aléatoire suit la loi de densité définie par :
(b) Soit .
Vérifier que suit la même loi que lorsque les suivent toutes la loi .
9. Soit un couple d'entiers tel que .
Montrer que admet une espérance et une variance données par :
(a) Montrer que pour tout entier et tout , on a :
(b) En déduire l'encadrement, pour tel que :
(c) Montrer que pour tout :
Montrer que pour tout :
(a) Soit . Montrer que :
(b) En déduire que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine égale à .
13. Quelle question de la partie 1 permet de retrouver le résultat précédent?
14. On souhaite estimer la valeur du paramètre à l'aide de l'observation de l'échantillon . Pour cela on introduit pour tout et , la variable aléatoire :
(a) Montrer que pour tout , la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers une constante que l'on précisera.
(b) Soient et . Montrer que :
En déduire que la suite de variables aléatoires converge en probabilité vers une constante que l'on précisera.
(c) On fixe deux réels et tels que .
Pour tout , on pose :
Montrer que est un estimateur convergent de .
Troisième partie
On admet pour cette question le théorème suivant :
Théorème : Soit fixé.
Il existe une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que :
Pour tout , la variable aléatoire suit la loi exponentielle ;
Pour tout , on a .
En quoi ce théorème donne-t-il un résultat plus fort que ce qui a été prouvé en question 8 b ?
Le but de cette partie est de démontrer ce théorème dans le cas où .
Soit [ et soit .
On dit qu'une variable aléatoire à valeurs dans suit la loi si :
On suppose que suit la loi . Donner la valeur de l'espérance et de la variance de . Déterminer pour tout .
Soit et soit une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi .
On pose .
(a) Calculer pour tout .
(b) En déduire que suit une loi pour un certain paramètre à déterminer.
Soient deux variables aléatoires indépendantes et de même loi . Soient deux entiers naturels. Montrer que :
Soient deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle . Soient deux réels positifs ou nuls.
(a) Soit un entier naturel non nul. On pose et .
Montrer que les variables aléatoires et suivent toutes les deux la loi , où est un paramètre que l'on précisera.
(b) On conserve les notations de la question précédente et on pose de plus et .
Montrer les inclusions entre événements :
(c) En déduire l'encadrement :
(d) Montrer que :
Soient deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle .
On note et les variables aléatoires notées précédemment et .
Autrement dit pour tout , si , alors et , et dans le cas contraire et .
(a) Montrer que . En déduire que les variables aléatoires et sont presque-sûrement à valeurs strictement positives.
(b) Montrer que pour tous réels positifs et :
(c) Montrer que les variables aléatoires et sont indépendantes, de loi respective et .
Conclure quant à l'objectif de cette partie.
