BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2013
Epreuve de maths approfondies - ECS 2013
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireTopologie/EVNCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Word →Description
Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2013.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Code épreuve : 281
CONCOURS D'ADMISSION DE 2013
OPTION SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES
Vendredi 10 mai de 14 h à 18 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le problème comporte quatre parties.
On pose :
On pose :
Partie I - Construction de la fonction arctan.
On définit, sous réserve d'existence, la fonction
- Vérifier que la fonction arctan est bien définie sur
, impaire, de classe sur et préciser une expression de . - Montrer que arctan admet une limite finie, notée provisoirement
, en et justifier que arctan est une bijection de sur . - Pour tout
, calculer , en déduire la valeur de . - Justifier que, pour tout
. - Montrer que, pour tout
.
Si
L'objectif du problème est d'obtenir quelques propriétés de
L'objectif du problème est d'obtenir quelques propriétés de
Partie II - Premières propriétés de
- Vérifier que
est un sous-espace vectoriel de . - Soit
, montrer que, pour tout est absolument convergente. - Soit
, montrer que est bornée et . - Continuité de
pour .
Dans cette question,
a- Soit
b- En déduire que, pour tout
a- Soit
b- En déduire que, pour tout
c- Soit
d- Montrer alors que
e- En déduire que
e- En déduire que
Partie III - Etude d'un exemple.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'application
10) Vérifier que
11) Dérivabilité de
a- Vérifier que, pour tout
b- Soit
10) Vérifier que
11) Dérivabilité de
a- Vérifier que, pour tout
b- Soit
c- Soit
d- Montrer alors que, pour tout
e- En déduire que
f-
12) Calcul de
a- Déterminer
b- Pour tout
c- En déduire que, pour tout
d-
13) Une nouvelle expression de
a- Justifier, pour tout
b- Montrer que, pour tout
14) Etude de la limite de
a- Démontrer que, pour tout
b- Ecrire, pour tout
12) Calcul de
a- Déterminer
b- Pour tout
c- En déduire que, pour tout
d-
13) Une nouvelle expression de
a- Justifier, pour tout
b- Montrer que, pour tout
14) Etude de la limite de
a- Démontrer que, pour tout
b- Ecrire, pour tout
c- Déterminer alors
15) Application au calcul de
a- Montrer que
b- Vérifier que
c- Soit
d- Pour tout
e- Montrer que
f- Donner alors la valeur de
15) Application au calcul de
a- Montrer que
b- Vérifier que
c- Soit
d- Pour tout
e- Montrer que
f- Donner alors la valeur de
Partie IV - Retour à l'étude de
- Montrer que
.
Dans toute la suite du problème, on considère :
-
tel que , on pourra poser . - pour tout
, autrement dit et, pour tout , . -
, on posera . - pour tout
.
- Vérifier que, pour tout
et . - Peut-on avoir
? Que peut-on alors dire de ? - Démontrer que, pour tout
et que la série converge. - Montrer alors que, pour tout
, la série converge.
On note alors
21) Montrer que
22) Continuité de
a- Vérifier que, pour tout
21) Montrer que
22) Continuité de
a- Vérifier que, pour tout
b- En déduire que, pour tout
c- Justifier que
23) Application aux valeurs spectrales de
a- Pour tout
23) Application aux valeurs spectrales de
a- Pour tout
b- Montrer alors que
c- Soit
c- Soit
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