CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Mardi 10 mai 2011 de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le problème comporte cinq parties.
désigne l'ensemble des entiers naturels et celui des polynômes à coefficients réels.
Si est un entier naturel, est le sous-ensemble de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à .
Si est un espace vectoriel sur , on notera l'ensemble des endomorphismes de .
Si est une partie non vide de , on appelle centre de et on note l'ensemble des endomorphismes de qui commutent avec tous les éléments de , c'est-à-dire : .
Si et est plus simplement noté et est appelé aussi commutant de . On a donc : .
Si et avec , on note l'endomorphisme de défini par . En particulier, .
Enfin, on note .
L'objectif du problème est de comparer et dans certains cas.

Dans cette partie, on suppose que est un espace vectoriel sur de dimension finie où est un entier naturel supérieur ou égal à est une partie non vide de et un élément de .

Dans toute cette partie, on notera :

On admet que pour dans , il existe une unique suite telle que :
.
4) Quelques propriétés de :
a) Vérifier que la suite constante égale à 1 appartient à .
b) Plus généralement, si , telle qu'il existe vérifiant : , montrer que .
c) En déduire que les suites et appartiennent à .
5) Premières propriétés de :
a) Vérifier que est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de dans .
b) Montrer que les fonctions et appartiennent à .
6) Premières propriétés de :
a) Déterminer les suites géométriques appartenant à .
b) Vérifier que la suite appartient à .
c) En déduire que est un sous-espace vectoriel de contenant les fonctions et .
7) Caractérisation des éléments de :

Soit de telle que, pour tout de , où .
a) Montrer que : .
b) En déduire qu'il existe une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2 telle que, pour tout de .
c) Montrer alors que est combinaison linéaire des fonctions et .
d) Conclure que est un espace de dimension finie dont est une base.
8) L'endomorphisme :

Soient dans et de telles que : .
a) Montrer que la suite , telle que : , appartient à .

On note alors l'application définie par : .
b) Vérifier que est un endomorphisme de .
c) Déterminer pour tout de . En déduire un polynôme de , de degré 3 , tel que .
d) Déterminer la matrice de dans la base et calculer pour tout de .
9) Eléments propres de :
a) Quels sont les valeurs propres et sous-espaces propres de ?
b) est-il diagonalisable ?
10) Centre de :

Soit un élément du commutant de , c'est à dire un endomorphisme de tel que .
a) Montrer qu'il existe des réels et tels que et .
b) Montrer qu'il existe aussi des réels et tels que .
c) Démontrer que .
d) Réciproquement, si est un endomorphisme de pour lequel il existe des réels et tels que , vérifier que appartient à .
e) Que vaut ?
f) Montrer que la famille ( ) est libre dans .
g) Comparer et .

Dans cette partie, on suppose que est un espace vectoriel sur de dimension finie où est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et un élément de .
11) On suppose que tout vecteur non nul de est vecteur propre de . Montrer que est une homothétie.
12) Soit la partie de formée des projecteurs de et dans . On se donne un vecteur non nul de et un supplémentaire de . En considérant la projection sur parallèlement à , montrer que est une homothétie de . En déduire .
13 ) Que vaut ?

Dans cette partie, on suppose que et que est un endomorphisme diagonalisable de .
On note les valeurs propres distinctes de les espaces propres correspondants et, pour tout de .
14) Justifier que, pour tout de et tout de est stable par .
15) Réciproquement, si est un endomorphisme de tel que, pour tout de est stable par , montrer que : .
16) Considérer une base de adaptée à l'écriture et caractériser les endomorphismes de par l'allure de leur matrice dans cette base.
17) En déduire que : .
18) Montrer que , puis que si et seulement si admet valeurs propres distinctes.
19) Ecrire la matrice de dans la base . Pour tout de , calculer , puis pour tout polynôme de .
20) On note , que vaut ?
21) Plus généralement, si est un polynôme de , vérifier que : si et seulement si pour tout de .
22) En déduire que la famille ( ) est libre dans .
23) Montrer que: . En déduire : .
24) Démontrer que si et seulement si admet valeurs propres distinctes.

On garde, dans cette partie, les mêmes notations et hypothèses que dans la partie IV.
On veut déterminer que l'on notera plus simplement .
25) Vérifier que .
26) Montrer que .
27) Pour dans et dans , on note l'endomorphisme de défini par: . Montrer que : . En déduire qu'il existe un réel tel que : .
28) Montrer qu'il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à tel que : .
29) Démontrer que : .