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ESSECM1_S

Mardi 13 mai 2008 de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

L'objet du problème est l'étude d'une famille de fonctions polynomiales appelées fonctions polynômes de Newton. La première partie les introduit de manière algébrique. La deuxième partie, tout en étant liée à la première, développe des thèmes relevant de l'analyse.

Dans toute cette partie, on notera l'ensemble des fonctions polynomiales allant de dans et lorsque est un entier naturel, on désignera par l'ensemble des fonctions polynomiales allant de dans de degré inférieur ou égal à .

Etant donné Q appartenant à , on se propose de déterminer toutes les fonctions polynomiales P vérifiant : .

A cet effet, on introduit l'application de dans lui-même définie lorsque par la relation .
) a) Montrer que est un endomorphisme de .
b) Pour de degré r strictement positif, calculer le degré de la fonction polynomiale .
c) Montrer alors que le noyau de est l'ensemble des fonctions polynomiales constantes.
) On considère pour l'application .
a) Justifier la définition de et montrer que est linéaire.
b) Quel est le noyau de ?
c) Montrer alors que .
d) En déduire que l'application est surjective.
) On désigne par le sous-espace vectoriel de constitué par les fonctions polynomiales s'annulant en 0 . Montrer que la restriction de à est un isomorphisme de sur .
) a) Déduire de la question précédente qu'il existe une suite et une seule d'éléments de vérifiant: et et .
( s'appelle fonction polynomiale de Newton d'indice n .)
b) Vérifier que pour tout entier naturel non nul et tout réel :

c) Montrer que, pour , la famille forme une base de . En déduire que la famille forme une base de .
d) On adopte la notation usuelle : et .

Prouver que pour toute fonction polynomiale de degré : . Justifier ensuite l'écriture .
e) La fonction polynomiale étant ainsi décomposée, déterminer les fonctions polynomiales vérifiant la relation .
f) Application : en déduire, pour , une expression simple de faisant intervenir . Calculer .
) Etablir, pour toute fonction polynomiale Q , pour tout entier naturel n et tout réel x , la relation : .
) Dans toute cette question, on suppose que .
a) On désigne par le commutant de dans l'ensemble des endomorphismes de , c'est à dire .
i. Pour et appartenant à , montrer que, si , alors .
ii. Soit un endomorphisme de . Justifier l'existence de réels tels que:

iii. En déduire que est de dimension et qu'il admet pour base :

iv. On introduit l'endomorphisme d de qui à une fonction polynomiale P associe sa fonction dérivée . Montrer que . En supposant qu'il existe réels tels que , calculer . Conclure à une contradiction.
b) Préciser la matrice de dans la base . Montrer que . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
c) Existe-t-il des endomorphismes g de tels que ?

On note toujours la suite de fonctions définie pour tout réel par : et pour tout entier naturel non nul .
) recherche d'un équivalent de lorsque :
On fixe un réel non égal à un entier naturel.
Pour réel, on considère la suite définie par .
a) Préciser, selon le réel , la nature de la série de terme général .
b) Que conclure pour la suite ?

En déduire qu'il existe un réel strictement positif noté tel que .

On considère une application de à valeurs dans .
A cette application, on associe la suite définie par : .
a) Soit , préciser la suite lorsque f est l'application .
b) Pour entier naturel, on note la fonction polynomiale .

Justifier que .
Montrer alors que la fonction s'annule en .
c) On suppose de plus que f est indéfiniment dérivable sur . Montrer que, pour tout entier naturel et pour tout réel positif, il existe un réel tel que :

Indication : on pourra utiliser, lorsque , la fonction auxiliaire
, avec A un réel choisi tel que et appliquer plusieurs fois le théorème de Rolle.
d) On note toujours f une fonction indéfiniment dérivable sur et vérifiant la propriété suivante :
il existe une constante M strictement positive telle que .
Montrer que : .
En déduire que si une telle fonction s'annule sur , c'est la fonction nulle.
) Etude de la série avec réel:
a) Lorsque , montrer que la série de terme général est divergente pour tout réel, non égal à un entier naturel.
b) On suppose que .
i. Montrer que la série de terme général est absolument convergente pour tout réel.
ii. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que pour tout entier naturel et tout x réel :
du, puis établir que la suite est bornée.
iii. En déduire .
c) On suppose que .
i. Montrer que la série de terme général est divergente pour .
ii. En reprenant la méthode préconisée au II.3.b), établir que la série est convergente pour et que : .
d) On suppose que .
i. Préciser les réels pour lesquels la série de terme général est absolument convergente. Pour quelles valeurs de x est-elle convergente ?
ii. Justifier pour tout x réel et tout entier naturel n strictement positif la formule :

iii. En déduire lorsque .