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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2006

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementTopologie/EVNCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2006ECS MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2006.

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PDF
12a8faa7-13e0-420f-81e6-68625d99bdab
Concepteur: ESSEC
CODE EPREUVE :
281
CONCOURS D'ADMISSION DE 2006
ESSECM1_S

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Lundi 15 mai 2006 de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Dans tout ce problème, la lettre désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on note l'ensemble .
On rappelle qu'une permutation de est une bijection de sur lui-même.
Par ailleurs, on note :
  • l'ensemble des permutations de ;
  • l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels ;
  • l'espace vectoriel des matrices à lignes, colonnes à coefficients réels ;
  • l'élément générique d'une matrice , c'est-à-dire le réel situé à l'intersection de la è ligne et de la è colonne de ;
  • la transposée d'une matrice .
Lorsque appartient à , on appelle matrice de la permutation la matrice de notée dont le terme générique vérifie : si et sinon.
Par exemple, pour et définie par .
On s'intéresse dans un premier temps à l'ensemble des matrices appartenant à vérifiant la propriété suivante : .
Dans ce cas, leur valeur commune sera notée .

PARTIE I : Etude de l'ensemble

On note la matrice d'ordre dont tous les coefficients sont égaux à 1 c'est-à-dire égale à et la matrice colonne à lignes égale à .
  1. Généralités.
    a) Montrer que est un sous espace vectoriel de et que l'application en est une forme linéaire.
    b) Lorsque , établir que : si et seulement si est vecteur propre commun à et associé à une même valeur propre.
    c) Vérifier que est stable pour le produit matriciel et préciser en fonction de et lorsque et appartiennent à .
  2. Dimension de .
    a) Montrer que le noyau de et la droite vectorielle engendrée par sont supplémentaires dans .
    b) Pour , on note la matrice de dont tous les éléments sont nuls sauf les quatre éléments : qui sont tels que : et . Montrer que la famille est libre puis qu'elle est génératrice du noyau de . En déduire la dimension de .
  3. Une famille génératrice de .
    a) Établir que pour toute permutation de , la matrice appartient à et que les matrices sont les seules matrices de telles que n'admettant qu'un seul élément non nul par ligne et par colonne.
    b) Écrire la matrice correspondant à la permutation de définie par :
Préciser les matrices : .
c) Exprimer comme combinaison linéaire de matrices de permutations . Faire de même avec chaque matrice du type quand : on pourra se limiter aux matrices et (si ) et donner une décomposition explicite de ces deux matrices en combinaison linéaire de matrices de permutations.
d) Prouver qu'il existe permutations de telles que
soit une base de .
Que représente la somme des composantes d'une matrice de relativement à cette base ?

Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I

On s'intéresse dans toute la suite du problème à l'ensemble des matrices de dont tous les éléments sont positifs ou nuls. On note cet ensemble.

PARTIE II: Etude de l'ensemble

  1. Montrer que est stable pour le produit matriciel et que pour toute famille ( ) de permutations de et toute famille de réels positifs ou nuls

Dans cette partie, on admettra que:

  1. a) On suppose que est une telle permutation associée à et on désigne par
b) En déduire que pour toute matrice de , il existe permutations de et réels strictement positifs tels que :
c) Montrer qu'une matrice de possédant au moins termes nuls est nulle ; en déduire que : .
d) Exemple : lorsque , exprimer comme combinaison linéaire à scalaires strictement positifs de matrices de permutations de .
3) Une application : L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique et on note le produit scalaire de deux vecteurs et de
On désigne par et deux bases orthonormales de
a) Vérifier que la matrice appartient à et donner la valeur de . Lorsque est une permutation de , préciser dans le cas où .
b) On introduit l'endomorphisme symétrique de dont est une base orthonormale de diagonalisation et de valeurs propres respectivement associées .
On note la matrice colonne .
Montrer l'égalité matricielle : .
c) En utilisant la question II 2) b), établir que pour toute forme linéaire de , il existe deux permutations et de vérifiant : .
d) On suppose que : et .
Trouver une forme linéaire permettant d'en déduire les inégalités :
Que représente le terme dans la matrice de relativement à la base et pouvez- vous donner une interprétation matricielle des inégalités obtenues ci- dessus ?

PARTIE III

L'objet de cette dernière partie est la justification du résultat admis dans la partie II 1). Lorsque , on appelle sous-matrice de type de la matrice appartenant à toute matrice extraite de en supprimant de lignes et colonnes.
  1. Lorsque est une permutation de et un élément de , expliciter le terme générique des matrices et . Comment obtient-on ces deux matrices à partir de ?
  2. On suppose que appartient à et qu'elle contient une sous-matrice nulle de type ( ).
    a) Montrer que : deux permutations de telles que avec
b) En déduire que si appartient à , on a .
3) On désire établir la propriété suivante : si appartient à et vérifie l'hypothèse , alors contient au moins une sous- matrice nulle de type ( ) avec .
a) Le vérifier pour .
b) n étant supérieur ou égal à 3 , on suppose que la propriété est vérifiée pour tout . On désigne par une matrice appartenant à et vérifiant ( ).
  • Établir que contient une sous-matrice de type vérifiant .
  • En déduire que : tels que avec
  • Montrer que vérifie ou vérifie .
  • En déduire alors que contient une sous-matrice nulle de type ( ) telle que et conclure.
  1. Montrer alors, à l'aide de 2) b) que : telle que .

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