BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2005
Epreuve de maths approfondies - ECS 2005
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries entières (et Fourier)Probabilités continues
Téléchargements disponibles
LaTeX →
Word →Description
Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2005.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : ESSEC
OPTION SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES I
Lundi 23 mai 2005, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Notations
Dans tout ce problème, on considère
Pour toute matrice
On identifie l'espace vectoriel
On munit
On désigne par
À
Lorsque
Pour toute matrice
On identifie l'espace vectoriel
On munit
On désigne par
À
Lorsque
PARTIE I
Dans cette partie,
- Lorsque
est un segment de , montrer que est définie sur . - Quelques exemples .
Après avoir étudié les variations de
a)
b)
(on pourra introduire le réel
c)
3) Pour chacun des cas précédents, déterminer
4) Plus généralement, on suppose que :
a) Établir que
a)
b)
(on pourra introduire le réel
c)
3) Pour chacun des cas précédents, déterminer
4) Plus généralement, on suppose que :
a) Établir que
On note
b) Après avoir dressé le tableau des variations de l'application
Justifier la dérivabilité de
c) Après avoir étudié pour
b) Après avoir dressé le tableau des variations de l'application
Justifier la dérivabilité de
c) Après avoir étudié pour
PARTIE II
On revient aux notations du préambule.
- On suppose dans cette question que :
et .
a) Pourréel strictement positif et , calculer et préciser .
Quelle comparaison pouvez-vous faire entre les ensembles
b) Lorsque
c) Préciser
b) Lorsque
c) Préciser
Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle d'ordre n dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
On rappelle que :
2) On suppose dans cette question que :
On rappelle que :
2) On suppose dans cette question que :
Pour
a) En utilisant un changement de base orthonormale, établir l'encadrement :
b) Pour
c) Montrer que, pour tout vecteur
3) On reprend la même fonction qu'au 2), c'est-à-dire
a) Existence d'un maximum.
a) En utilisant un changement de base orthonormale, établir l'encadrement :
b) Pour
c) Montrer que, pour tout vecteur
3) On reprend la même fonction qu'au 2), c'est-à-dire
a) Existence d'un maximum.
- Montrer que :
et en déduire que pour :
il existestrictement positif vérifiant . - Établir que l'ensemble
est une partie fermée et bornée de et en déduire que : .
b) Unicité d'un élément réalisant le maximum. - Pour
et deux vecteurs de et , établir la relation :
- En supposant que
et 'sont deux vecteurs distincts réalisant le maximum de , montrer que : puis établir une contradiction.
PARTIE III
Dans toute cette partie,
On reprend la même fonction et les mêmes conventions qu'en II.3) et on choisit pour
On note
On suppose que
D'après les résultats obtenus dans la partie II, on sait que pour tout
L'objectif de cette partie est de donner une caractérisation de
On reprend la même fonction et les mêmes conventions qu'en II.3) et on choisit pour
On note
On suppose que
D'après les résultats obtenus dans la partie II, on sait que pour tout
L'objectif de cette partie est de donner une caractérisation de
- Caractérisation de
.
a) Vérifier que pour toutde .
Montrer que :
Justifier l'égalité des dimensions de
b) Lorsque
Justifier l'égalité des dimensions de
b) Lorsque
En déduire que
2) Un algorithme de recherche de
2) Un algorithme de recherche de
On désigne par
a) Montrer que les deux suites sont bien définies et qu'elles vérifient les deux relations :
b) Montrer que :
a) Montrer que les deux suites sont bien définies et qu'elles vérifient les deux relations :
b) Montrer que :
c) Démontrer l'existence d'une matrice carrée d'ordre
On note
On note
- Montrer la relation :
pour tout de . - Établir que la matrice
est symétrique et que sa plus grande valeur propre est strictement positive . - En déduire que pour tout
de , on a .
d) On choisit.
Montrer que :
En déduire que la suite
En déduire que la suite
Pas de description pour le moment