BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2003

Dans tout le problème, on désigne par un entier naturel et par :

En particulier, est l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur .
A toute fonction appartenant à , on associe l'application notée définie sur par :

On définit ainsi un endomorphisme de l'espace vectoriel dont on se propose dans la suite d'étudier quelques propriétés au travers de parties qui sont largement indépendantes.

b) On suppose la fonction paire (resp. impaire). Exprimer en fonction de .
c) On suppose la fonction croissante (resp. décroissante). Est-ce le cas de ?
d) On suppose la fonction convexe (resp. concave). Est-ce le cas de ?
e) On suppose que la fonction a une limite en . Est-ce le cas de ?
2) Dans cette question, on étudie l'endomorphisme induit par sur .
a) Montrer que est stable par . On note alors l'endomorphisme induit par sur .
b) Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
c) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de .
3) Dans cette question, on étudie l'injectivité et la surjectivité de .
a) Montrer, pour toute fonction de , que est de classe et préciser sa dérivée. Pour quelles valeurs du nombre entier l'espace vectoriel est-il inclus dans ?
b) Montrer que est formé des fonctions 1 -périodiques et d'intégrale nulle sur une période.
c) L'endomorphisme est-il surjectif ? injectif ?
4) Dans cette question, on étudie les éléments propres de .
a) On considère une valeur propre , de l'endomorphisme , autrement dit un nombre réel tel qu'il existe une fonction non nulle appartenant à vérifiant .
Montrer que toute fonction propre associée à une valeur propre , c'est-à-dire toute fonction continue non nulle telle que , est nécessairement de classe sur .
b) Quelles sont les fonctions-polynômes qui sont fonctions propres de ?
c) Montrer, pour tout nombre réel , qu'il existe une et une seule fonction exponentielle définie par telle que .
En déduire que tout nombre réel est valeur propre de .
d) Montrer, pour tout nombre réel , que la seule fonction bornée appartenant au sousespace propre associé à est la fonction nulle.
Dans la suite du problème, on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 , c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues vérifiant pour tout nombre réel , ou :

Partie II: Existence d'une fonction non constante dans

a) Montrer que la courbe représentative de admet pour centre de symétrie le point ( ).
b) Montrer que est de classe sur et que .
2) On définit alors par récurrence à partir de une suite de fonctions définies sur par :

a) Montrer que est de classe sur et vérifie . En déduire que :

b) Montrer que . En déduire que :

c) Etablir enfin, pour tout nombre réel de , que .
d) On note l'application définie sur chaque intervalle où par . Ainsi, la fonction est définie sur la réunion de ces intervalles , et donc sur .
Montrer que est continue sur et vérifie pour tout nombre réel .
3) On prolonge la fonction définie ci-dessus sur en une fonction définie sur .

A cet effet, on pose pour .
Montrer que est continue sur et vérifie pour tout nombre réel .
En réitérant ce même procédé sur , etc, on obtient une fonction continue sur vérifiant pour tout nombre réel (on ne demande pas d'expliciter ce raisonnement).

On désigne toujours par une application de et par un nombre entier naturel.

En déduire dans tous les cas que .
c) On définit de même le minimum de la fonction sur l'intervalle .

Etablir la monotonie de la suite ( ) et en déduire la convergence des suites ( ) et ( ).
2) On étudie dans cette question l'existence d'une limite éventuelle de en et on pose

a) Calculer la dérivée de l'application et exprimer à l'aide de .
b) Justifier l'inégalité suivante pour :

En l'appliquant avec , en déduire que : .
c) Etablir une inégalité analogue faisant intervenir et , et en déduire enfin que tend vers lorsque tend vers .

On désigne maintenant par une application bornée de et on note alors

a) Comparer et (ou ).
b) Calculer la dérivée de et en déduire le sens de variation de .
2) On définit alors par récurrence à partir de une suite de fonctions définies sur par :

a) Calculer la dérivée de et en déduire le sens de variation de .
b) Déterminer le sens de variation de la suite lorsque le nombre réel est fixé.
c) Etablir pour tout nombre réel et tout nombre entier naturel l'inégalité suivante :

d) En déduire que la suite converge vers 0 , puis que est constante sur .