BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2000

CONCOURS D'ADMISSION DE 2000

Mardi 9 Mai 2000 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans l'ensemble du problème, on désigne par un nombre entier naturel non nul et par l'espace vectoriel des fonctions-polynômes de degré inférieur ou égal à .
On note le sous-ensemble de formé des fonctions-polynômes unitaires et de degré , autrement dit des fonctions-polynômes de degré et dont le coefficient de est égal à 1 .
L'objectif du problème est de déterminer des fonctions-polynômes appartenant à et réalisant le minimum sur de chacune des trois expressions suivantes :

Les trois parties du problème sont consacrées à la résolution des trois problèmes ainsi définis. La partie I est indépendante des deux suivantes.

PARTIE I : Minimisation de pour décrivant
On associe à tout couple ( ) de fonctions-polynômes de le nombre réel suivant :

) Montrer que l'application définit un produit scalaire sur .

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ETABLISSEMENT DENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE
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ETABLISSEMENTS PRIVES DENSEIGNEMENT SUPERIEUR. ASSOCIATION LOI 1901.
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) On considère la fonction associant à tout -uplet ( ) de nombres réels l'expression suivante (qui représente le carré de la distance entre les deux fonctions-polynômes et de :

a) Citer avec précision le théorème permettant d'affirmer l'existence et l'unicité d'un -uplet ( ) réalisant le minimum (désormais noté ) de l'expression lorsque ( ) décrit , et montrer que ces nombres réels vérifient les relations suivantes :

On explicitera ces relations en calculant les intégrales figurant ci-dessus pour .
b) On pose pour tout nombre réel distinct de :

Etablir l'existence d'un nombre réel a tel que l'on ait pour distinct de :

Déterminer la valeur de en faisant tendre vers dans chacun des deux membres de l'égalité précédente (on exprimera en fonction de ! et ( )!).
c) Etablir l'égalité suivante :

d) Etablir enfin que et en déduire que .
) On résout maintenant le problème de la minimisation de lorsque décrit .
a) Pour toute fonction-polynôme appartenant à , effectuer le changement de variables défini par dans l'intégrale figurant dans l'expression de et en déduire que :

b) En déduire le minimum de lorsque décrit .

PARTIE II : Minimisation de pour décrivant
On considère la suite des fonctions définies par puis, pour , par la relation de récurrence :

Par ailleurs, on rappelle la formule de trigonométrie suivante : .
) On étudie dans cette question quelques propriétés des fonctions .
a) Montrer que est une fonction-polynôme de degré , de coefficient dominant .
b) On considère un nombre réel . Exprimer en fonction de les nombres , et montrer que pour tout nombre entier naturel .
) On résout maintenant le problème de la minimisation de lorsque décrit .
a) On considère, s'il en existe, une fonction-polynôme appartenant à telle que :

PARTIE III: Minimisation de pour décrivant
On considère la suite des fonctions ( ) définies par et pour par:

) On étudie dans cette question quelques propriétés des fonctions .
a) Montrer que est une fonction-polynôme, préciser son degré et son coefficient dominant. Etablir de plus que .
b) Déterminer les suites vérifiant la relation de récurrence : .

En déduire pour tout nombre réel appartenant à l'expression de en fonction de et , puis déterminer et à l'aide d'un passage à la limite.
c) En dérivant la relation , exprimer en fonction de la dérivée de .
) Pour tout nombre réel , on note la fonction "signe de ", définie par :

On considère, s'il en existe, une fonction-polynôme appartenant à telle que :

a) Prouver, pour toute fonction-polynôme appartenant à , l'égalité suivante :

b) En déduire que .
c) Calculer l'intégrale à l'aide du changement de variables où décrit le segment . En admettant que la fonction-polynôme vérifie l'hypothèse (*), en déduire le minimum de lorsque décrit .
) On démontre pour terminer que la fonction-polynôme vérifie bien l'hypothèse faite à la question précédente. A cet effet, on introduit les nombres réels suivants :

(On notera que ceux-ci vérifient ).
a) Déterminer la valeur de pour et déterminer le signe de sur chacun des intervalles .

On considère alors l'intégrale suivante, où désigne un nombre entier tel que :

b) On suppose impair. Déterminer la valeur de en étudiant la parité de la fonction figurant sous le signe intégral.
c) On suppose pair. Prouver l'égalité suivante :

En remarquant que :

prouver que est nul et en déduire que vérifie bien l'hypothèse de la question .