La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Le but du problème est l'étude du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).
PARTIE I
On considère deux variables aléatoires et définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances et et des variances et et on suppose (on rappelle que si et seulement si, avec une probabilité égale à est constante). La covariance des deux variables aléatoires et (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par :
) Covariance des variables aléatoires et
a) Exprimer en fonction de et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel :
b) En déduire que .
A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité ?
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CII C IUST
ETARLISSEMENT D'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE RECONNU PAR L'ETAT MEMBRE DE LA FESIC
) Coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et
On suppose dans cette question les variances et de et strictement positives.
a) Exprimer le coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et en fonction de et des écarts-types et des variables aléatoires et et montrer que appartient à .
Préciser de plus à quelle condition nécessaire et suffisante est égal à -1 ou +1 .
b) Donner la valeur de lorsque les variables aléatoires et sont indépendantes.
c) On suppose enfin que suit une loi normale centrée réduite et que .
Préciser les espérances et les variances de et ainsi que la covariance et le coefficient de corrélation de et . Etudier alors la réciproque de la question (b).
PARTIE II
) Calculs préliminaires
a) On considère deux nombres entiers naturels et tels que .
En raisonnant par récurrence sur , établir la formule suivante :
b) En faisant , en déduire une expression factorisée des trois sommes suivantes :
On considère dans toute la suite de cette partie deux nombres entiers et tels que et une urne contenant jetons numérotés de 1 à .
On extrait de cette urne simultanément et au hasard jetons et on désigne alors par :
la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des jetons tirés.
la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des jetons tirés.
On note et les espérances et variances des variables aléatoires et .
A] Dans cette partie A, on suppose que (autrement dit, on extrait deux jetons de l'urne et et sont les variables aléatoires indiquant le plus petit et le plus grand des 2 numéros tirés).
A. ) Lois des variables aléatoires et
a) Quel est le nombre de parties à 2 éléments d'un ensemble à éléments ? à éléments ?
En déduire les probabilités et pour , puis, en raisonnant de même, les probabilités et pour .
(On vérifiera que les formules donnant et restent valables si ou ).
b) Comparer les lois des variables aléatoires et , autrement dit les deux probabilités et pour .
En déduire que et , puis en déduire les expressions de en fonction de et de en fonction de .
A. ) Espérances et variances des variables aléatoires et
a) Exprimer les espérances et en fonction de .
b) Exprimer sous forme factorisée , puis et en fonction de .
A. ) Covariance et coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et
a) Montrer que la probabilité est égale à pour .
b) En déduire sous forme factorisée l'espérance et montrer que :
c) En déduire sous forme factorisée la covariance et le coefficient de corrélation de et . On remarquera que ce coefficient de corrélation linéaire de et est indépendant de .
B] Dans cette partie B, on revient au cas général et le nombre entier vérifie donc .
B. ) Lois des variables aléatoires et
a) Déterminer et pour et pour
b) Comparer les lois de et et en déduire les expressions de en fonction de et de en fonction de .
B. ) Espérances et variances des variables aléatoires et
a) Vérifier l'égalité et en déduire les espérances et en fonction de .
b) Vérifier l'égalité et en déduire sous forme factorisée , puis et en fonction de .
B. ) Covariance et coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et
a) Expliciter la probabilité pour et .
b) En déduire sous forme factorisée l'espérance et montrer que :
c) En déduire sous forme factorisée la covariance et le coefficient de corrélation de et .
On remarquera que ce coefficient de corrélation linéaire de et est indépendant de .
C] Dans cette partie C, on suppose à nouveau et on se propose de retrouver les résultats du II.A par une autre méthode, en ne supposant connues que les probabilités .
) Utilisation de la fonction génératrice des variables aléatoires et
On désigne par la fonction génératrice du couple de variables aléatoires , définie par :
a) Montrer que et .
Donner des égalités analogues pour et .
b) Montrer, en posant , c'est à dire , qu'on a pour :
En développant ci-dessus et , quelle expression de en déduit-on?
c) Préciser les deux dérivées partielles et et retrouver et , et et , et enfin le coefficient de corrélation linéaire de et .
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