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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2022

Epreuve de maths approfondies - ECS 2022

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Intégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
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BCE
Année
2022
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2022.

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Conception : emlyon business school

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 4 Mai 2022, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLĖME 1

Notations et rappels

Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
On note la base canonique de .
L'espace vectoriel est muni du produit scalaire canonique, noté , défini par :
On confond les ensembles et . Ainsi, pour tous et de , on a, en notant et .
Pour tous réels , on note la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont égaux à .
Enfin, on rappelle qu'une matrice de est orthogonale lorsque est inversible et que .

PARTIE A: Mise en place d'un exemple

On considère les matrices et de suivantes:
  1. a. La matrice est-elle inversible? Déterminer le rang de .
    b. Calculer les matrices et et vérifier : .
    c. En déduire les valeurs propres réelles de . La matrice est-elle diagonalisable dans ?
  2. a. Justifier que la matrice est diagonalisable.
    b. On pose : .
    i. Vérifier que la matrice est orthogonale.
    ii. Montrer que la matrice est diagonale.
Dans toute la suite du problème, désigne une matrice de et on pose .
On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est la matrice .

PARTIE B : Valeurs singulières d'une matrice

On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est la matrice et .
3. Montrer : et .
4. a. Soit appartenant à . En calculant , montrer que appartient à .
b. En déduire: puis .
5. a. Justifier que l'endomorphisme est diagonalisable et qu'il existe une base orthonormée de constituée de vecteurs propres de .
b. Montrer que les valeurs propres de sont positives ou nulles.
On note la matrice de passage de la base à la base .
6. Justifier que la matrice est orthogonale et montrer qu'il existe des réels positifs ou nuls tels que: avec .
Les réels étant positifs ou nuls, on pose, pour tout de .
Les réels sont appelés les valeurs singulières de la matrice .
7. Dans cette question uniquement, on suppose que la matrice est symétrique.
Déterminer, dans ce cas, les valeurs singulières de en fonction de ses valeurs propres.
8. Justifier que la matrice admet exactement coefficients diagonaux non nuls.
Dans toute la suite, on suppose que les réels sont non nuls et donc que les réels sont nuls.
9. a. Pour tout de , justifier que est non nul et calculer .
b. On pose, pour tout de .
Montrer que la famille ( ) est une famille orthonormée.
c. En déduire qu'il existe une base orthonormée de telle que la matrice de dans la base (au départ) et la base (à l'arrivée) est :
On note la matrice de passage de la base à la base et la matrice .
10. Justifier que la matrice est orthogonale et, en calculant de deux façons différentes la matrice de dans la base (au départ) et la base (à l'arrivée), montrer : .

11. Retour sur l'exemple :

Déterminer deux matrices orthogonales et de et une matrice diagonale de telles que: .

PARTIE C : Pseudo-inverse d'une matrice et application

On reprend les notations de la partie .
Il existe donc deux matrices orthogonales et de et des réels strictement positifs tels que :
On définit la matrice de par : .
La matrice est appelée la matrice pseudo-inverse de .
On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est la matrice et .
12. Justifier que, si est inversible, alors .
13. a. Simplifier le produit .
b. Montrer que est un projecteur orthogonal.
c. Montrer : puis en déduire : .
14. Application : Soit .
Il n'existe donc pas de vecteur de tel que .
On cherche alors à déterminer un vecteur de tel que : .
a. Justifier : .
b. Proposer un vecteur de répondant au problème posé.
Montrer que, lorsque , il existe au moins deux vecteurs distincts de répondant au problème posé.
15. Retour sur l'exemple: On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est la matrice et on considère .
a. Déterminer et vérifier que n'appartient pas à .
b. Montrer: .
c. En déduire deux vecteurs distincts et de tels que :

PROBLÈME 2

Ce problème est constitué de trois parties. Les parties et sont indépendantes l'une de l'autre mais utilisent certains résultats de la partie .
On rappelle que, pour tout de tel que .
Pour tout de , on note le réel, appelé le nombre de Catalan d'ordre , défini par :

PARTIE A : Quelques propriétés sur les nombres de Catalan

  1. Calculer les réels et .
  2. a. Montrer : .
    b. En déduire que, pour tout de est un entier naturel non nul.
  3. Montrer : .
  4. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function catalan(n) qui, prenant en entrée un entier de , renvoie la valeur de .
  5. a. Montrer que la suite est croissante.
    b. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que la suite diverge vers .
  6. a. Montrer : .
    b. En déduire : .
  7. On note, pour tout de et .
    a. Montrer :
    (on pourra effectuer le changement d'indice dans la somme définissant ).
    b. Montrer à l'aide de l'égalité de la question 3. .
    c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence : .
On a donc montré : .
8. a. Montrer que, pour tout de , la série converge.
On pose, pour tout de et .
On admet que la fonction est continue sur .
b. Soit appartenant à .
En remarquant que, pour tout de , montrer : .
c. En déduire : .
d. Montrer qu'il existe une fonction définie sur et à valeurs dans telle que :
Montrer ensuite que la fonction est continue sur .
e. En déduire : .

PARTIE B : Loi du demi-cercle

On considère la fonction définie sur par :
  1. a. Montrer : .
    b. En déduire, à l'aide du changement de variable , la valeur de .
  2. Montrer que est une densité d'une variable aléatoire réelle.
On considère une variable aléatoire réelle de densité , définie sur un espace probabilisé ( ).
11. a. Justifier que, pour tout de admet un moment d'ordre et que l'on a:
b. On pose, pour tout de .
i. Calculer .
ii. À l'aide d'une intégration par parties, montrer : .
iii. En déduire : .

PARTIE C : Étude d'une expérience aléatoire

Soit un réel appartenant à .
On considère une pièce qui amène Pile avec la probabilité et Face avec la probabilité avec laquelle on effectue une succession de lancers indépendants.
On modélise cette expérience par un espace probabilisé ( ).
On définit la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués lorsque, pour la première fois, on obtient le même nombre de Pile que de Face, et égale à 0 si un tel événement ne se réalise pas.
Par exemple, si on obtient successivement (où désigne Pile et désigne Face), alors la variable aléatoire est égale à 6 .
12. a. Écrire une fonction Scilab, d'en-tête function qui prend en argument le réel , qui simule au plus lancers de la pièce et qui renvoie la valeur de en convenant que si, sur les lancers, le nombre de Pile obtenus n'a jamais été égal au nombre de Face, alors prend la valeur 0 .
b. On exécute le script Scilab suivant :
for i = 1 : 3
    L = zeros (1,3)
    for j = 1 : 3 et on obtient les résultats suivants :
        m = 0
        for k = 1 : 1000
            m = m + simule(i/4)
        end
        L(j) = m/1000
    end
    disp(L)
end
Qu'affiche le script? Comment peut-on interpréter ces différents résultats?
13. Justifier : .
14. On note, pour tout de l'ensemble des résultats possibles de ( ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
  • le nombre de Pile est toujours strictement supérieur au nombre de Face tout au long des ( ) premiers lancers;
    et on pose, pour tout de .
    On note, pour tout de l'ensemble des résultats possibles de ( ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
  • le nombre de Pile est toujours supérieur ou égal au nombre de Face tout au long des premiers lancers;
    et on pose et, pour tout de .
    Par exemple,
ainsi et .
a. Soit . En remarquant que tout résultat de commence nécessairement par un Pile et se termine par un Face, justifier : .
b. i. Montrer : .
ii. En déduire : .
iii. Montrer alors: où est le nombre de Catalan d'ordre .
c. En déduire: .
15. a. Montrer que, pour tout de , la série converge.
On pose, pour tout de .
b. Montrer : et .
c. Montrer : , où est la fonction définie dans la question A.8.
d. En utilisant la valeur de , montrer : . Interpréter ce résultat lorsque .
16. En utilisant le résultat de la question A.6.b, montrer :
a. si , alors la variable aléatoire admet une espérance.
b. si , alors la variable aléatoire n'admet pas d'espérance.

- FIN -

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