La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
PARTIE A : Étude de deux suites
On définit les suites et par :
a. Montrer : .
b. En déduire que les suites et sont monotones, puis qu'elles convergent vers une même limite notée .
Montrer alors : .
a. Justifier : puis .
b. En déduire une fonction Scilab d'en-tête function gamma approx() qui renvoie une approximation du réel à près.
PARTIE B : Étude d'une fonction définie par une série
Montrer que, pour tout de , la série converge.
On pose alors, pour tout de .
5. a. Calculer et vérifier : .
b. Montrer, pour tout de . En déduire la valeur de .
6. a. Montrer : .
b. En déduire que est une fonction croissante sur .
c. Montrer : tel que ,
En déduire que est dérivable sur et : .
On admet que est également continue sur .
7. a. Montrer : .
b. En déduire : .
c. En utilisant la croissance de la fonction sur [ [, montrer : .
8. a. Vérifier : , le réel étant défini dans la partie .
b. En déduire: .
c. Conclure : .
PARTIE C : Application en probabilité
On considère la fonction définie sur par :
9. Montrer que est une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire réelle à densité, définie sur un espace probabilisé ( ), de densité .
10. a. Déterminer la fonction de répartition de .
b. La variable aléatoire admet-elle une espérance?
On définit la variable aléatoire par : , où désigne la partie entière du réel .
11. a. Montrer, pour tout de :
b. En déduire la fonction de répartition de .
c. Montrer que est une variable aléatoire à densité et préciser une densité de .
12. Justifier que admet une espérance puis, à l'aide d'une intégration par parties, montrer :
PROBLÈME 2
Pour tout de , on note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Soient une suite de polynômes de et un polynôme de .
On dit que la suite de polynômes converge vers lorsque :
Dans ce cas, on admet que si, pour tout de avec
alors : pour tout de .
PARTIE A : Étude d'endomorphismes de polynômes
Pour tout de , on définit l'application sur par :
Soit .
a. Calculer et vérifier :
b. Montrer que est un endomorphisme de .
Pour tout de , on note la matrice de dans la base canonique de ; ainsi, pour tout de est une matrice de .
2. Cas :
a. Vérifier : .
b. Montrer que le spectre de est .
Justifier alors que est diagonalisable et déterminer les sous-espaces propres de .
c. En déduire le spectre de et une base de formée de vecteurs propres de .
3. Montrer que, pour tout de est vecteur propre de associé à la valeur propre .
4. Soit .
a. Vérifier : .
b. En déduire que la somme des coefficients. sur chaque colonne de est égale à 1 .
c. Montrer alors que 1 est une valeur propre de .
5. Soit .
a. Montrer : .
b. En déduire que si est un vecteur propre de associé à une valeur propre , alors est un vecteur propre de et préciser la valeur propre associée en fonction de .
6. a. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer, pour tout de :
b. En déduire que, pour tout de est diagonalisable et déterminer la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
7. Soit . On note le polynôme de défini par : .
a. À l'aide de la question 1.a., montrer : .
b. En déduire le sous-espace propre de associé à la valeur propre 1 .
8. Soient et un polynôme de . On note, pour tout de un vecteur propre de associé à la valeur propre .
a. Justifier qu'il existe tel que : pour tout de où désigne l'endomorphisme .
b. En déduire qu'il existe un réel tel que la suite de polynômes converge vers le polynôme .
PARTIE B : Étude d'une expérience aléatoire
Dans cette partie, désigne un entier de supérieur ou égal à 2 .
On dispose d'une urne rouge et d'une urne bleue ainsi que de boules rouges et de boules bleues, ces boules étant supposées indiscernables au toucher.
Initialement, on place les boules rouges dans l'urne rouge et les boules bleues dans l'urne bleue.
On procède alors à une succession d'épreuves aléatoires, chaque épreuve consistant à échanger au hasard une boule de l'urne rouge avec une boule de l'urne bleue. Après chaque épreuve, chaque urne contient donc toujours boules.
On modélise cette expérience par un espace probabilisé ( ).
Pour tout entier de , on définit la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne rouge à l'issue de la -ième épreuve. On pose également .
On pourra remarquer que, après chaque épreuve, le nombre de boules rouges dans l'urne rouge est toujours égal au nombre de boules bleues dans l'urne bleue.
9. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
10. Soit . Montrer : pour tout de ,
a. Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction Scilab suivante pour que, prenant en entrée le nombre initial de boules rouges et le nombre d'épreuves réalisées, elle renvoie une simulation de .
function Z = simule(n,k)
R = n // R désigne le nombre de boules rouges dans l'urne rouge
for j = 1:k
aleaR = rand()
aleaB = rand()
if aleaR <= (R/n) & aleaB <= (R/n) then
R = .......
elseif ....... then
R = R+1
end
end
Z = .......
endfunction
b. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function esperance qui, prenant en entrée le nombre initial de boules rouges et le nombre d'épreuves réalisées, renvoie une estimation de l'espérance de .
On justifiera, en particulier, la méthode d'estimation.
c. On utilise la fonction précédente et on trace l'espérance de en fonction de pour différentes valeurs de . On obtient le graphe ci-dessous.
Émettre une conjecture sur la valeur de la limite de l'espérance de lorsque tend vers .
12. On note, pour tout de .
a. Déterminer, pour tout de , l'ensemble .
b. Montrer, pour tout de :
c. Montrer alors, pour tout de :
d. En déduire, pour tout de , une expression de en fonction de et de . Calculer et commenter le résultat obtenu.
13. Pour tout de , on définit le polynôme de par : .
a. À l'aide de la question 1.a., démontrer, pour tout de :
b. En déduire qu'il existe un réel tel que la suite de polynômes converge vers le polynôme , où est le polynôme défini à la question 7 .
14. a. Déduire de la question précédente: pour tout de .
b. On admet la formule suivante : .
Montrer : .
c. Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi et l'espérance.
