Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
On note, pour tout de la fonction polynomiale définie par :
PARTIE A : Étude de la suite des racines des polynômes
a. Calculer, pour tout de , les limites de en et en .
b. En déduire que, pour tout de , le polynôme admet au moins une racine réelle.
a. Montrer : .
b. En déduire que, pour tout de , les racines de sont toutes simples.
a. Vérifier : .
b. En déduire que, pour tout de , les racines réelles de appartiennent nécessairement à l'intervalle .
a. Montrer les relations :
b. Montrer par récurrence que, pour tout de , la fonction est strictement décroissante sur et ne s'annule qu'une seule fois, en un réel noté .
5. a. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function qui prend pour arguments un entier de et un réel , et qui renvoie la valeur de .
On rappelle qu'en langage Scilab, l'instruction factorial (k) renvoie une valeur de k!.
b. Recopier et compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant pour argument un entier de , elle renvoie une valeur approchée de à près à l'aide de la méthode par dichotomie.
function u = suite(n)
a = ........
b = .........
c = (a+b)/2
while .........
if ......... then
a = c
else
b = c
end
c = .........
end
.........
endfunction
c. On utilise la fonction précédente pour représenter les premiers termes de la suite . Conjecturer un équivalent de lorsque tend vers et la limite éventuelle de .
6. a. Montrer : .
b. En déduire que la suite est croissante.
7. On suppose dans cette question que la suite est convergente de limite .
a. Montrer: .
b. Déterminer . En déduire : .
c. Aboutir à une contradiction.
8. En déduire la nature et la limite de la suite .
PARTIE B : Quelques résultats intermédiaires
Les deux questions de cette partie sont indépendantes entre elles et indépendantes de la partie .
9. On note la fonction définie sur par : .
a. Montrer que l'intégrale converge et préciser sa valeur.
b. Soit un entier supérieur ou égal à 2 .
Justifier, pour tout de .
En déduire : .
c. En déduire la limite de lorsque tend vers .
d. Montrer finalement : .
10. On note la fonction définie sur .
Montrer qu'il existe un unique appartenant à tel que et justifier :
PARTIE C : Équivalent de la suite
a. Montrer: .
b. Justifier : .
c. En déduire : .
Soit un entier de .
a. Montrer : .
b. En utilisant le résultat des questions 3.b et 6.a, obtenir : , puis:
On pose, pour tout de .
a. Montrer :
b. En déduire que la suite converge vers 0 puis que la suite converge vers , la fonction et le réel étant définis dans la question 10 ..
14. En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .
PROBLÈME 2
Dans tout le problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
On note la base canonique de .
PARTIE A : Étude d'un produit scalaire
Montrer que, pour tout polynôme de , l'intégrale converge.
Pour tout de , on pose .
a. Pour tout de , déterminer à l'aide d'une intégration par parties une relation entre les intégrales et .
b. En déduire :
Pour tout couple de , on pose : .
3. Montrer que est un produit scalaire sur .
Dans toute la suite du problème, on munit de ce produit scalaire et on note la norme associée.
4. Calculer, pour tout de et, pour tout de .
On admet qu'il existe une unique suite de polynômes définie par :
pour tout de , le polynôme est de degré et de coefficient dominant strictement positif,
pour tout de , la famille est une famille orthonormale.
a. Déterminer et et vérifier que .
b. Montrer que, pour tout de , la famille est une base de .
On définit la matrice de par :
On note également la matrice de la famille dans la base .
6. Étude du cas :
a. Expliciter la matrice .
Montrer que la matrice est inversible et vérifier que .
b. Expliciter la matrice et calculer . Que remarque-t-on?
7. On note, pour tout de le coefficient d'indice de la matrice .
a. Justifier que la matrice est inversible.
b. Justifier : .
En déduire: .
c. Montrer alors la relation : .
8. a. Montrer que la matrice est inversible.
b. Établir (sans calcul) que la matrice est diagonalisable.
c. Montrer que les valeurs propres de sont strictement positives. (On pourra calculer, pour tout vecteur propre de .)
PARTIE B : Étude d'une projection
Soit un polynôme de . On définit la matrice colonne .
9. Soit un polynôme de .
On note la matrice colonne des coordonnées de dans la base .
a. Montrer, pour tout de .
b. Montrer : est le projeté orthogonal de sur .
En déduire : est le projeté orthogonal de sur .
10. Retour au cas : Déterminer le projeté orthogonal du polynôme sur .
11. On souhaite retrouver le résultat précédent par une méthode différente.
On définit la fonction sur par :
a. Vérifier :
b. Montrer que admet un unique point critique vérifiant : .
c. Montrer que la matrice hessienne de au point ( ) est la matrice .
d. En déduire que la fonction admet au point ( ) un minimum local.
e. Justifier : .
En déduire que admet un minimum global sur et que ce minimum est atteint en un unique point.
f. Retrouver alors l'expression du projeté orthogonal du polynôme sur .
