La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
On définit la fonction d'une variable réelle par : .
PARTIE I : Étude d'une suite d'intégrales
On pose, pour tout de .
Calculer les intégrales et .
a. Soit . À l'aide d'une intégration par parties, montrer : .
b. En déduire : .
PARTIE II : Une autre expression de
3. Montrer que, pour tout de , l'intégrale converge et que . Pour cela, on pourra utiliser le changement de variable après avoir justifié sa validité.
4. a. Montrer que la fonction est définie sur et préciser sa parité.
b. Donner la valeur de .
5. Soit .
a. Soient et . En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre appliquée à la fonction entre 0 et , montrer :
b. En déduire, pour tout de .
c. En déduire que la série converge et que l'on a : .
PARTIE III : Équivalent de lorsque tend vers
6. Montrer, pour tout de .
7. a. Montrer, pour tout de .
b. Soit . Montrer, à l'aide du changement de variable :
c. En déduire, pour tout de :
a. Rappeler l'expression d'une densité de la loi normale d'espérance nulle et de variance . En déduire les convergences et les valeurs des intégrales suivantes :
b. Soit . À l'aide du changement de variable , montrer :
En déduire : .
PARTIE IV : Une application en probabilités
Dans cette partie, désigne un réel strictement positif.
On considère deux variables aléatoires indépendantes et définies sur un même espace probabilisé , suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre .
On s'intéresse à la probabilité de l'événement .
10. a. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function estime (lambda) qui, prenant en argument un réel lambda strictement positif, simule un grand nombre de fois les variables aléatoires et , et renvoie une estimation de .
On rappelle que l'instruction grand(1,1, 'poi', lambda) simule la loi de Poisson de paramètre lambda.
b. Grâce à la fonction précédente, on trace, en fonction de , une estimation de pour et on obtient le graphe suivant :
À la vue de ce graphe, proposer un équivalent de lorsque tend vers .
11. Montrer : .
12. a. Exprimer en fonction de et de la fonction .
b. En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
PROBLÈME 2
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à , et la base canonique de .
On note, pour tout polynôme de :
PARTIE I : Étude d'un endomorphisme de polynômes
a. Montrer que est une application linéaire.
b. Calculer .
c. Montrer que est un endomorphisme de .
Déterminer la matrice de dans la base . Préciser le rang de cette matrice.
a. L'endomorphisme est-il injectif? Justifier votre réponse.
b. Soit un polynôme non nul de .
Montrer que admet 1 comme unique racine (dans ), et que est de degré .
c. En déduire une base de .
4. Montrer que est diagonalisable.
5. On pose, pour tout de : .
a. Pour tout de , calculer .
b. Montrer que la famille ( ) est une base de et expliciter la matrice de dans cette base.
c. Déterminer les sous-espaces propres de .
PARTIE II : Étude d'une suite de variables aléatoires
On considère une urne contenant boules numérotées de 1 à , indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite de tirages avec remise, et on suppose que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé ( ).
On note alors, pour tout de la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de numéros distincts qui ont été tirés lors des premiers tirages.
Par convention, on pose: .
6. On note, pour tout de la variable aléatoire prenant la valeur 1 si le -ième tirage amène un numéro qui n'a pas été tiré lors des tirages précédents, et prenant la valeur 0 sinon.
On pourra remarquer que, en particulier, .
a. Déterminer la loi de .
b. Soit . Calculer, pour tout de , la valeur de .
En déduire : .
c. Soit . En remarquant que , montrer :
d. En déduire, pour tout de .
e. Déterminer alors, pour tout de , l'espérance de .
7. On note, pour tout de le polynôme de défini par :
a. Déterminer les polynômes et .
b. Montrer, pour tout de et tout de :
c. Montrer, pour tout de :
d. En déduire, pour tout de :
a. Pour tout de , calculer et .
b. En déduire, pour tout de :
c. Retrouver alors, pour tout de , l'expression de obtenue en question 6.e.
9. On rappelle que les polynômes sont définis à la question 5. par :
a. Calculer .
b. Montrer, pour tout de :
c. En déduire, pour tout de :
d. Montrer finalement, pour tout de et pour tout de :
