BCE Maths approfondies emlyon ECS 2015
Epreuve de maths approfondies - ECS 2015
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Algèbre linéairePolynômes et fractionsEquations différentiellesIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités continues
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2015.
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Conception : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
Dans tout le problème, on confond polynôme et application polynomiale de
On note, pour tout
On note, pour tout
On définit l'ensemble
Partie I: Étude d'endomorphismes
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel .
Pour tout polynôme
2. Montrer que l'application
3. En déduire une base de
2. Montrer que l'application
3. En déduire une base de
Pour tout polynôme
Ainsi, par exemple, si
- a. Montrer que l'application
est un endomorphisme de .
b. Déterminer, pour tout polynômede , le degré de en fonction du degré de .
c. Déterminer le noyau et l'image de △ .
d. Établir :.
On définit l'endomorphisme
5. a. Montrer :
b. Déterminer une base du noyau de
c. Démontrer que
d. Est-ce que
5. a. Montrer :
b. Déterminer une base du noyau de
c. Démontrer que
d. Est-ce que
PARTIE II : Étude d'un produit scalaire
On considère l'application
- Montrer que
est un produit scalaire sur .
On munit dorénavant
On considère les trois polynômes suivants :
On considère les trois polynômes suivants :
- Montrer que la famille (
) est une base de . - a. Exprimer, pour tout polynôme
de , les coordonnées de dans la base ( ) en fonction de .
b. Exprimersur la base de et en déduire que la matrice de l'endomorphisme dans la base de est .
On note, pour toutde . - a. Montrer que, pour tout
de est non nul.
On note alors, pour tout
b. Montrer que (
10. Déterminer la matrice de l'application linéaire
11. Déterminer la matrice de l'endomorphisme
12. On note, pour tout polynôme
a. Montrer que
b. Montrer :
c. En déduire que
d. Déterminer le projeté orthogonal de
b. Montrer que (
10. Déterminer la matrice de l'application linéaire
11. Déterminer la matrice de l'endomorphisme
12. On note, pour tout polynôme
a. Montrer que
b. Montrer :
c. En déduire que
d. Déterminer le projeté orthogonal de
PROBLÈME 2
Dans tout le problème, on note
On remarquera que l'entier
Partie I: Définition de la transformée de Laplace
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel des fonctions définies sur et à valeurs dans . - Soit
un élément de .
Montrer, pour tout
En déduire que, pour tout
Dans toute la suite du problème, pour tout élément
En déduire que, pour tout
Dans toute la suite du problème, pour tout élément
- Montrer, pour tout
et pour tout .
Partie II : Quelques exemples
- Soit
fixé. On considère, pour tout de , la fonction définie par :
Pour tout
5. Soit
5. Soit
Montrer que la fonction
Partie III : Propriétés des transformées de Laplace
- Limite de
en
Soit
Établir :
7. Limite de
7. Limite de
Soit
On note, pour tout
a. Déterminer la limite en
b. Montrer que
c. En déduire :
d. Soit
e. Conclure :
On note, pour tout
a. Déterminer la limite en
b. Montrer que
c. En déduire :
d. Soit
e. Conclure :
8. Transformée de Laplace d'une dérivée
Soit
a. Montrer qu'il existe
b. En déduire que
c. Établir :
a. Montrer qu'il existe
b. En déduire que
c. Établir :
9. Dérivée puis dérivée
Soit
a. Montrer que, pour tout
b. Montrer :
c. Soient
b. Montrer :
c. Soient
Montrer :
En déduire :
d. Montrer que
e. Montrer que
En déduire :
d. Montrer que
e. Montrer que
Partie IV: Application à la résolution d'une équation fonctionnelle
Dans cette partie, on cherche à déterminer une fonction
- On suppose qu'il existe une fonction
de classe sur , solution du problème et telle que .
a. Montrer queappartient à et : .
b. En déduire:, puis : . - En déduire une fonction
solution du problème posé.
- FIN -
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