BCE Maths approfondies emlyon ECS 2013
Epreuve de maths approfondies - ECS 2013
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Algèbre linéaireRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2013.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
BOR
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Concepteur : EMLYON Business School
MATHÉMATIQUES
Lundi 29 avril 2013 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
Partie I: Étude d'une fonction
- Montrer que, pour tout
, l'intégrale converge.
On note
2. Montrer :
3. Montrer :
4. Montrer que l'intégrale
2. Montrer :
3. Montrer :
4. Montrer que l'intégrale
En déduire :
Partie II : Une autre expression intégrale de
A - Dérivabilité et expression de la dérivée de
- Soit
tel que .
a. Montrer que l'intégraleconverge.
b. Établir :.
c. En déduire :. - En déduire que
est dérivable sur et que : . - Montrer, pour tout
et tout :
- En déduire :
. - Montrer que
est de classe sur et que : .
B - Intervention d'une fonction auxiliaire
On note
10. Démontrer que
11. Montrer que, pour tout
10. Démontrer que
11. Montrer que, pour tout
puis :
12. Montrer :
13. Quelle est la nature de la série
12. Montrer :
13. Quelle est la nature de la série
Partie III : Étude d'une densité
On note
14. Montrer que
15. Soit
14. Montrer que
15. Soit
PROBLÈME 2
Dans tout le problème,
On note
Si
Si
Si
Si
Si
On note
Si
Si
Si
Si
Si
Partie I: Un exemple
Soient
- Vérifier que 0 est valeur propre de
et déterminer une base du sous-espace propre associé. - a. Calculer
.
b. Montrer queest diagonalisable dans .
c. Déterminer une matrice diagonalede et une matrice inversible de telles que .
Partie II : Trace d'une matrice carrée
Pour toute matrice carrée
3. Montrer que l'application
4. Montrer :
5. Vérifier :
3. Montrer que l'application
4. Montrer :
5. Vérifier :
Partie III : Une caractérisation des matrices de rang 1
- Soient
et deux matrices colonnes non nulles de .
a. Justifier :. Déterminer les coefficients de l'aide des coefficients de et de .
b. Exprimerà l'aide des coefficients de et de .
c. Quel est le rang de? - Soit
une matrice de rang 1 .
a. Montrer qu'il existetel que, pour tout , il existe vérifiant :
b. En déduire qu'il existe deux matrices colonnes non nulles
8. Énoncer une caractérisation des matrices de
8. Énoncer une caractérisation des matrices de
Partie IV : Une application en probabilités
On considère deux variables aléatoires
On suppose de plus :
On note, pour tout
9. On suppose, dans cette question, que les variables aléatoires
On suppose de plus :
On note, pour tout
9. On suppose, dans cette question, que les variables aléatoires
Calculer
10. On suppose, dans cette question, que la matrice
a. Montrer :
b. En déduire que, pour tout
c. Montrer :
d. En déduire que les variables aléatoires
10. On suppose, dans cette question, que la matrice
a. Montrer :
b. En déduire que, pour tout
c. Montrer :
d. En déduire que les variables aléatoires
Partie V : Une caractérisation des matrices de rang 1 diagonalisables
Soit
11. Montrer que 0 est valeur propre de
12. Montrer :
13. Montrer que si
14. On suppose
15. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de
11. Montrer que 0 est valeur propre de
12. Montrer :
13. Montrer que si
14. On suppose
15. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de
Partie VI : Construction d'un produit scalaire et d'un endomorphisme symétrique
- Montrer que l'application :
est un produit scalaire sur .
On munit dorénavant
On considère une matrice colonne
17. Montrer que
18. a. Montrer que l'application
b. Vérifier
c. On note e l'application identité de
On considère une matrice colonne
17. Montrer que
18. a. Montrer que l'application
b. Vérifier
c. On note e l'application identité de
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