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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2012

Epreuve de maths approfondies - ECS 2012

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireRéductionSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2012
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2012ECS MathématiquesMathématiques 2012

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2012.

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D Code épreuve : 295
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

Concepteur : EMLYON Business School

è épreuve (option scientifique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril 2012 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
lls ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLÈME 1

Dans tout le problème, est un entier tel que .
On confond polynôme de et fonction polynomiale sur ou sur ou sur .
On note le sous-espace vectoriel de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à .

Partie I: Interpolation polynomiale

Soient des réels deux à deux distincts. On note
  1. Montrer que est un isomorphisme.
  2. En déduire que, pour tout , il existe unique tel que :
  1. Exemple :
Déterminer le polynôme de tel que :

Partie II : Polynômes spéciaux

On considère l'ensemble des polynômes de tels que :
  1. Donner un exemple d'élément de .
  2. Montrer que est stable par multiplication par un réel strictement positif, par addition et par multiplication, c'est-à-dire que, pour tout et tous , on a :
Est-ce que est un sous-espace vectoriel de ?
3. Soit . On note .
Montrer : .
4. Soit . Montrer : .
Pour tout , on note .
5. Montrer que l'application est bijective.
6. Si, de plus, est de degré au moins 2 , est-ce que l'application réciproque de est une application polynomiale?

Partie III : Matrices symétriques positives

On note l'ensemble des matrices symétriques de telles que :
Soit une matrice symétrique de .
  1. La matrice est-elle diagonalisable dans ? Justifier.
  2. a. Montrer que si est dans , alors toutes les valeurs propres de sont dans .
    b. Réciproquement, montrer que si toutes les valeurs propres de sont dans , alors est dans .

Partie IV: Matrice symétrique positive solution d'une équation polynomiale spéciale

Soit de degré (l'ensemble a été défini dans la partie II), et soit admettant valeurs propres deux à deux distinctes, notées , appartenant toutes à .
On note la matrice diagonale de dont les termes diagonaux sont successivement , et une matrice inversible de telle que .
On se propose de résoudre l'équation , d'inconnue .
  1. On suppose que l'équation a une solution dans .
Soit appartenant à telle que . On note .
a. Montrer que et en déduire que .
b. Démontrer que est diagonale et que les éléments diagonaux de sont tous positifs ou nuls.
2. Établir que l'équation , d'inconnue , admet une solution et une seule, et que celleci est , où est une matrice diagonale que l'on exprimera à l'aide de , où a été définie dans la partie II.
3. Exemple:
On prend ici et .
a. Vérifier .
b. Déterminer les valeurs propres de et montrer : .
c. Déterminer une matrice diagonale et une matrice orthogonale telles que .
d. Résoudre l'équation , d'inconnue .

PROBLÈME 2

Partie I: Formule de Stirling

Pour tout , on définit .
  1. Calculer et .
  2. a. Montrer que la suite est décroissante.
    b. Montrer, pour tout entier tel que .
  3. a. Montrer, pour tout entier tel que .
    b. En déduire, pour tout entier tel que .
  4. a. Montrer, pour tout entier tel que .
    b. En déduire : , puis : .
  5. Montrer, pour tout entier tel que .
On note, pour tout entier tel que .
On note, pour tout entier tel que .
6. Montrer que la série converge.
7. Montrer, pour tout entier tel que .
8. En déduire que la suite converge et que sa limite est strictement positive.
9. a. Justifier : .
b. En utilisant l'expression de à l'aide de factorielles, en déduire la valeur de et l'équivalent suivant :

Partie II : Étude de variables aléatoires

Soit un réel strictement positif et la fonction définie, pour tout réel , par :
  1. Montrer que est une densité.
On considère une variable aléatoire admettant comme densité.
2. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
3. Montrer que la variable aléatoire admet une espérance et calculer .
4. Montrer que la variable aléatoire admet une variance et calculer .
5. a. On considère une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle . Montrer que la variable aléatoire suit la même loi que la variable aléatoire .
b. En déduire un programme en langage Pascal, utilisant le générateur aléatoire Pascal, simulant la variable aléatoire , le réel strictement positif étant entré par l'utilisateur.
Pour tout entier tel que , on considère une urne contenant boules numérotées de 1 à . On effectue, dans , des tirages d'une boule avec remise. On suppose que tous les tirages dans sont équiprobables. On s'arrête dès que l'on obtient une boule déjà obtenue.
On note la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
6. Justifier : .
7. Déterminer, pour tout entier tel que .
On considère la variable aléatoire . On se propose d'étudier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires .
Soit . On note l'entier naturel égal à la partie entière de .
On a donc : .
8. Justifier : .
9. En utilisant I 9.b., montrer : .
10. a. Déterminer le développement limité d'ordre 2 de en 0 .
b. En déduire : .
11. Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité.

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