BCE Maths approfondies emlyon ECS 2005
Epreuve de maths approfondies - ECS 2005
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Polynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Géométrie
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2005.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur : EM LYON
MATHÉMATIQUES
Lundi 9 mai 2005 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Premier problème
On considère la suite
On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale. Ainsi, pour tout entier
PARTIE I : Étude de la suite de polynômes
- Calculer
et .
2.a. Démontrer que, pour tout entier naturelest un polynôme de degré , dont on déterminera le coefficient du terme de degré .
b. Établir que, siest un entier pair (resp. impair), alors est un polynôme pair (resp. impair). - Calculer, pour tout entier naturel
en fonction de . - a. Établir, pour tout entier naturel
et tout réel de :
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul
c. Établir, pour tout entier naturel non nul
c. Établir, pour tout entier naturel non nul
d. En déduire, pour tout entier naturel non nul
5. a. Démontrer, pour tout entier naturel
5. a. Démontrer, pour tout entier naturel
Indication: On pourra dériver deux fois la fonction (nulle) :
b. En déduire, pour tout entier naturel
Dans la suite du problème,
On note
On note
PARTIE II : Étude de l'endomorphisme
- Montrer que
est un endomorphisme de l'espace vectoriel . - a. Calculer
pour tout de .
b. En déduire les valeurs propres deet, pour chaque valeur propre de , une base et la dimension du sous-espace propre associé.
PARTIE III : Étude d'un produit scalaire
Dans la suite du problème, on note
- Montrer que
est un produit scalaire sur . - Démontrer, pour tous polynômes
de :
Indication: On pourra, à l'aide d'une intégration par parties, montrer :
- Établir que
est une base orthogonale de .
Deuxième problème
PARTIE I : Calcul de la somme d'une série convergente
- Vérifier, pour tout
. - Établir, pour tout
et pour tout :
- Soit
une application de classe .
Montrer, à l'aide d'une intégration par parties :
4. Soit l'application
5.a. Montrer :
b. Justifier la convergence de la série
4. Soit l'application
5.a. Montrer :
b. Justifier la convergence de la série
PARTIE II : Étude d'une fonction définie par la somme d'une série convergente
1.a. Montrer que, pour tout couple
b. Montrer que, pour tout
b. Montrer que, pour tout
On note
2. Calculer
3.a. Établir :
b. En déduire :
c. Montrer alors que la fonction
4.a. Montrer, pour tout couple
2. Calculer
3.a. Établir :
b. En déduire :
c. Montrer alors que la fonction
4.a. Montrer, pour tout couple
b. En déduire que la fonction
c. Préciser les valeurs de
5. On admet que
5. On admet que
Montrer que
6. Soit
6. Soit
a. Montrer que l'intégrale
b. Montrer :
c. Conclure :
7.a. Dresser le tableau de variation de
b. Tracer l'allure de la courbe représentative de
b. Montrer :
c. Conclure :
7.a. Dresser le tableau de variation de
b. Tracer l'allure de la courbe représentative de
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