BCE Maths approfondies emlyon ECS 2002
Epreuve de maths approfondies - ECS 2002
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Suites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Description
Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2002.
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Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTRÉE 2002
MATHEMATIQUES
1 ère épreuve (option scientifique)
Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
PREMIER PROBLÈME
On note, pour tout entier
et, pour tout entier
PARTIE I : Étude de la suite
- Montrer, pour tout entier
:
- En déduire que la suite
est croissante et converge vers un réel, noté , tel que .
PARTIE II : Expression intégrale du réel
1.a. Établir, pour tout réel
b. En déduire, pour tout entier
puis :
2.a. Établir, pour tout entier
b. En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier
3.a. On note, pour tout entier
Justifier l'existence de
b. Établir que
4.a. Établir, pour tout entier
b. Établir que
4.a. Établir, pour tout entier
b. On note, pour tout entier
Justifier lexistence de
- On note :
a. Justifier l'existence de
b. Démontrer :
b. Démontrer :
DEUXIÈME PROBLÈME
Soit
L'objectif du problème est d'étudier les endomorphismes
L'objectif du problème est d'étudier les endomorphismes
Les endomorphismes vérifiant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques.
PARTIE I. Étude d'un exemple
Dans cette partie,
On considère l'application
On considère l'application
- Vérifier que
est un produit scalaire.
Dans cette première partie, on considère que
2. On considère l'endomorphisme
2. On considère l'endomorphisme
a. Vérifier:
b. En déduire que
3. Soient
a. Vérifier que
b. Déterminer une base de Keru.
c. Déterminer une base orthonormale
b. En déduire que
3. Soient
a. Vérifier que
b. Déterminer une base de Keru.
c. Déterminer une base orthonormale
PARTIE II. Caractérisations des endomorphismes antisymétriques
Soit
- Pour tout couple
de , développer .
En déduire que
- On suppose dans cette question que la dimension
de est non nulle.
Soient
a. Montrer:
b. En déduire que
a. Montrer:
b. En déduire que
PARTIE III. Propriétés générales des endomorphismes antisymétriques
Soit
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question II.1.
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question II.1.
- Soit
un nombre réel. Montrer que si est valeur propre de , alors . - Montrer que
et sont orthogonaux et supplémentaires dans .
En déduire que Ker
3. Montrer que
4.a. Montrer que
3. Montrer que
4.a. Montrer que
Soient
b. Montrer que
c. Montrer que
d. On munit
On définit l'endomorphisme
Montrer que
5. Montrer que le rang dun endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de
b. Montrer que
c. Montrer que
d. On munit
On définit l'endomorphisme
Montrer que
5. Montrer que le rang dun endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de
PARTIE IV. Application
Dans cette partie,
Soit
Soit
- Montrer que
est un endomorphisme antisymétrique de .
Vérifier que le vecteur
2. Soit
3. En déduire une base orthonormale
2. Soit
3. En déduire une base orthonormale
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