BCE Maths approfondies emlyon ECS 2001
Epreuve de maths approfondies - ECS 2001
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireRéductionNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2001.
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Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTREE 2001
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientifique)
1ère épreuve (option scientifique)
Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Problème 1
On note
Le but du problème est la construction d'une application
Le but du problème est la construction d'une application
On considère les applications
(a) Montrer que, pour tout
(b) Vérifier que, pour tout
2. Pour tout
(b) Vérifier que, pour tout
2. Pour tout
On note
(a) Calculer
(b) Montrer:
(a) Calculer
(b) Montrer:
On pourra étudier séparément les cas
(c) En déduire:
(d) Établir la convergence de la série
(c) En déduire:
(d) Établir la convergence de la série
En déduire que, pour tout
3. Établir que, pour tout
3. Établir que, pour tout
On définit ainsi une application
4. On note, pour tout
(a) Montrer:
(b) Montrer:
(c) Établir:
5.
(a) Établir:
(b) En déduire que
6.
(a) Établir:
(b) En déduire:
7. En déduire:
4. On note, pour tout
(a) Montrer:
(b) Montrer:
(c) Établir:
5.
(a) Établir:
(b) En déduire que
6.
(a) Établir:
(b) En déduire:
7. En déduire:
Problème 2
Rappel:
Pour tout entier
Définitions:
Soit
- On note
l'application identique de . - Pour tout endomorphisme
de , on note , et pour tout entier naturel . - Soit
. On dit qu'un endomorphisme de est cyclique d'ordre s'il existe un élément de vérifiant les trois conditions suivantes
La famille
Etude d'un exemple
Dans cette partie,
- Vérifier que (
) est une base de et déterminer la matrice associée à relativement à cette base. - Montrer que
est cyclique d'ordre 4 et que ( ) est un cycle de . - Montrer que
. - Montrer que
est diagonalisable en déterminant une base de constituée de vecteurs propres de .
Cas général
Dans cette partie,
Soit (
Soit (
- Montrer :
. - Montrer que
. En déduire que est bijective. - On note
le plus grand des entiers naturels tels que la famille est libre.
(a) Montrer queest combinaison linéaire des vecteurs
(b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturelsupérieur ou égal à , le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs
(c) En déduire queet que la famille ( ) est une base de . - On note
les nombres complexes tels que:
(a) On considère l'endomorphisme
Montrer:
En déduire:
(b) Déterminer la matrice associée à
(c) Montrer:
En déduire:
(b) Déterminer la matrice associée à
(c) Montrer:
En déduire que les sous-espaces propres de
5. On suppose dans cette question que
(a) Montrer que si un nombre complexe
(b) Déterminer la matrice associée à
(c) Montrer que
5. On suppose dans cette question que
(a) Montrer que si un nombre complexe
(b) Déterminer la matrice associée à
(c) Montrer que
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