La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On suppose, pour toutes les questions en langage Python, les bibliothèques usuelles déjà importées sous leur raccourcis habituels.

import numpy as np
import numpy.random as rd
import numpy.linalg as al
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as sp

Problème 1

Dans tout le problème,

désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
Si

est une matrice carrée, on note, pour tout

le coefficient de

à l'intersection de la

-ème ligne et

-ème colonne. La matrice identité de

est notée

Partie 1 : Racine(s) d'une matrice carrée

Soit

une matrice de

fixée. On cherche à déterminer s'il existe des matrices

telles que

et, si c'est le cas, à décrire l'ensemble des solutions de cette équation, d'inconnue

Soit . On suppose qu'il existe telle que . Montrer que : .
Soit . On suppose qu'il existe telle que . Montrer que est inversible si et seulement si est inversible.
On considère, dans cette question .
a. Calculer .

La matrice

est-elle diagonalisable ?
b. Montrer que si

est solution de

, alors

.
c. Montrer alors que

admet deux solutions que l'on explicitera.
4. On considère, dans cette question,

On suppose qu'il existe une matrice

vérifiant

. On note

l'endomorphisme de

représenté par

dans la base canonique.
a.

est-elle diagonalisable ?
b. Montrer que

et que

. On note alors

.
c. Montrer qu'il existe un vecteur non nul

tel que (

) forme une famille libre de

. (On pourra commencer par appliquer

à l'équation de liaison.)
d. Conclure à une contradiction.
5. Soient

telle que

l'endomorphisme de

représenté par

dans la base canonique.
a. Déterminer un polynôme annulateur de

puis les valeurs propres possibles de

.
b. Montrer que :

.
c. En déduire que

est diagonalisable.
d. Conclure que l'ensemble des solutions de l'équation

est l'ensemble des matrices semblables aux matrices diagonales où tous les éléments diagonaux sont égaux à 1 ou à -1 , c'est à dire l'ensemble des matrices semblables aux matrices de la forme

ù

On suppose dans cette question que est telle que , où les réels vérifient

a. Justifier qu'il existe une matrice

diagonale (que l'on précisera) et une matrice

inversible telles que

.
b. Soit

. Montrer que

si et seulement si

.
c. À l'aide de la Question 1., montrer que

est une matrice diagonale.
d. L'équation

a-t-elle des solutions si

admet au moins une valeur propre strictement négative ?
e. Décrire l'ensemble des solutions dans le cas où toutes les valeurs propres sont positives.
7. On suppose maintenant que

est symétrique et que ses valeurs propres sont toutes strictement positives. On ne suppose plus qu'elles sont distinctes.

Le but de cette question est de montrer qu'il existe alors une unique matrice

symétrique avec des valeurs propres strictement positives telle que

.
a. Montrer, en la construisant, qu'il existe une matrice

symétrique avec des valeurs propres strictement positives telle que

.
b. On suppose qu'il existe deux matrices

vérifiant la propriété précédente (c'est à dire que

sont toutes deux symétriques avec des valeurs propres strictement positives et vérifient

). On note

. Enfin, on désigne par

(respectivement

) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs

(respectivement

).
i. Justifier qu'il existe deux matrices orthogonales

telles que:

ii. On pose

. Montrer que

et en déduire que, pour tout

, on a

.
iii. Montrer qu'on a alors, pour tout

puis que

.
iv. Conclure que

Partie 2 : Une suite de matrices

Montrer que l'application

définit un produit scalaire sur

On notera

ce produit scalaire et

la norme associée.
9. Montrer que, pour toute matrice

, on a

Une suite

de matrices de

est dite convergente coefficient par coefficient si, pour tout couple d'entiers

, la suite

est convergente (de limite

). Auquel cas, on écrira

où

est la matrice de

définie par

.
10. Justifier que, si

est une suite de matrices de

qui admet comme limite coefficient par coefficient la matrice

, alors, pour toutes matrices

, la suite de matrices

converge coefficient par coefficient vers la matrice

.
11. On considère un nombre réel

et la suite réelle

définie par

a. Étudier et dresser le tableau de variations de la fonction

On y fera figurer les limites de

aux bords de l'ensemble de définition.
b. Montrer, par récurrence, que, si

, alors

est bien définie et que, pour tout

a le même signe que

.
On admet qu'avec un raisonnement analogue, on obtient le même résultat pour

.
c. Montrer que

est monotone et qu'elle converge vers une limite

.
d. Montrer que, pour tout

tel que

, on a

.
e. En déduire que, pour tout

.
12. On considère une matrice

inversible et symétrique et on introduit la suite

de matrices de

définie par

a. Justifier qu'il existe une matrice orthogonale

telle que

est diagonale et inversible.
b. Montrer que, pour tout

est bien définie et que la matrice

est diagonale et inversible et vérifie

c. En déduire que

converge coefficient par coefficient vers une matrice

qui vérifie

.
d. i. Montrer, à l'aide de des Questions 9. et 11.e., que, pour tout

où

.
ii. En reprenant le raisonnement de la Question 9., montrer qu'on a même, pour tout

e. Informatique. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous qui, prenant en argument la matrice

, renvoie une matrice

telle que

def suite_matricielle(A):
    n = len(A)
    v = al.eig(A)[0]
    x, y = max(v), min(v)
    U, k = A, 0
    rho = max(....., .....)
    while ............... :
        k = k+1
        U = .........
    return U

Problème 2

La quatrième partie de ce problème est totalement indépendante de sa troisième partie.
Toutes les variables aléatoires de ce problème sont supposées définies sur un espace probabilisé (

) qu'on ne cherchera pas à préciser.

Dans tout le problème, on considère un paramètre réel

et une suite

de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi

. Pour tout

, on pose

Partie 1 : Préliminaires

On introduit, pour tout , l'intégrale : .

Montrer par récurrence que, pour tout

converge et que

.
2. On considère, pour tout entier

, la fonction

définie sur

par :

a. Représenter l'allure de la courbe de

Vérifier que, pour tout entier

peut être considérée comme une densité de probabilité.
b. Soit

fixé. Que vaut

?
c. Vérifier alors que

Le résultat de cette question permet d'observer que certaines permutations de limites et d'intégrales ne sont pas licites et justifie les étapes et le travail de la Question 19.

Partie 2 : Étude de

Justifier que, pour tout admet une espérance et une variance et en préciser les valeurs.
L'objectif de cette question est de déterminer, pour , la loi suivie par .
a. Soit . On pose . Reconnaître la loi de .
b. Montrer, par récurrence, que, pour tout suit la loi gamma .
c. En déduire que, pour tout est une variable aléatoire à densité dont une densité est donnée par:

a. Déterminer pour quelles valeurs de la variable aléatoire admet une espérance que l'on explicitera dans ce cas.
b. Déterminer pour quelles valeurs de la variable aléatoire admet une variance que l'on explicitera dans ce cas.

On introduit, pour tout

, la variable aléatoire

.
6. Vérifier que, pour tout

est une variable aléatoire à densité dont une densité

est donnée par :

a. Montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée-réduite .
b. Exprimer, sous forme d'une intégrale, la limite : .

Partie 3 : Estimation de par maximum de vraisemblance

On suppose que le paramètre

est inconnu et on souhaite l'estimer à partir d'un

-échantillon

, où

. On note

une densité de

On utilise la méthode dite du maximum de vraisemblance.
8. On considère la fonction

, à valeurs dans

, définie

On pose ensuite

.
Exprimer

, puis

en fonction de

.
9. Après avoir justifié le caractère

sur

, montrer que

n'y admet aucun point critique.
10. On suppose les

fixés (strictement positifs) et on considère alors la fonction

définie par

Montrer que la fonction

admet un maximum, atteint en un seul réel que l'on notera

. Exprimer

en fonction de

.
Vérifier que, pour tout

.
On pose dorénavant, pour

.
L'estimateur

est appelé estimateur du maximum de vraisemblance pour

.
11. Montrer que :

et déduire que

est biaisé mais asymptotiquement sans biais pour

.
12. En déduire, pour tout entier

, un estimateur

non biaisé pour

. Est-il convergent ?
13. Soit

[. On note

où

désigne la fonction de répartition de la loi

. À l'aide de la Question 7.a., montrer que

est un intervalle de confiance asymptotique au seuil

pour

.
14. Informatique. En Python, la commande ndtri(y) de la bibliothèque scipy.special renvoie la valeur de

. Recopier et compléter la fonction suivante qui prend en argument un réel

et un

-échantillon

d'une loi exponentielle de paramètre

et renvoie l'intervalle de confiance au seuil

pour

def IdC(alpha, Y):
    n=len(Y)
    Z=.......
    t=sp.ndtri(1-alpha/2)
    A=......
    B=......
    return [A, B]

L'intervalle de confiance précédent permet de définir un test d'hypothèse au seuil

. Disposant de l'observation d'un

-échantillon d'une loi exponentielle de paramètre

inconnu, on rejettera l'hypothèse

au risque

n'est pas dans l'intervalle de confiance précédent.
15. Application. Dans une usine de fabrication de composants électroniques, la durée de vie de chaque unité produite suit une loi exponentielle de paramètre

. Afin de contrôler la qualité des composants produits, on procède régulièrement à des tests. Lors de l'année 2023, on a, chaque mois, testé un lot de 100 composants. Les tests ont permis d'obtenir rapidement les durées de vie des composants et on a stocké ces informations dans une matrice

de taille

.
On exécute alors les commandes suivantes qui permettent l'affichage ci-après. Interpréter.

for i in range(12):
    Y=T [i]
    A, B = IdC(alpha, Y)
    plt.plot ([A ,B] ,[i,i])
    plt.plot ([1/10] ,[i], 'o')
plt.show()

Partie 4 : Une convergence sous le signe intégral

On reprend les notations de la Partie 2. On introduit alors les suites

définies par

a. À l'aide de la formule de Taylor-Young à l'ordre 3 en 0 , montrer que : .
b. En déduire la convergence de la série puis celle de la suite vers une limite .
À l'aide de la Question 6., vérifier que, pour tout , une densité de est donnée par :

On introduit la fonction définie sur ] par : .
a. Vérifier que, pour tout , on a :

b. Justifier qu'il existe un réel

tel que, pour tout

.
c. En déduire que, pour tout

où

désigne la densité de la variable aléatoire

de loi

.
19. Le but de cette question est d'obtenir que

.
a. On pose, pour tout

et tout

.
i. Justifier que, pour tout

est de classe

sur

et que, pour tout

ii. Montrer qu'il existe un réel

tel que, pour tout

.
iii. Déduire des deux questions précédentes qu'il existe une constante

telle que :

iv. Justifier qu'il existe une constante

telle que :

b. En vérifiant que

, montrer que

c. Conclure.
20. Déterminer alors, à l'aide de la question précédente et de la Question 7.b, la valeur de

. En déduire un équivalent de

lorsque

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