La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Somme d'une série

Dans cet exercice

désigne un élément de

. Pour

, on pose

a) Soit . Démontrer que l'on a : .
b) Soit un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer que : .
c) En déduire, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , un encadrement de .
d) Démontrer que .

2. Informatique.

a) On considère la fonction suivante écrite en langage Python.

def rang(a):
    k=1
    s=1
    while s<a:
        k=k+1
        s=s+1/k
    return k

Expliquer ce que produit l'appel rang (50).
b) Le code suivant

from numpy import exp
exp (49)

renvoie:

.
Expliquer rapidement ce que cela laisse penser si l'on fait l'appel rang(50).
3. a) Soient

. Simplifier la somme

.
b) En déduire que pour tout

on a :

.
c) Démontrer que :

.
d) En déduire que la série

converge, de somme

Exercice 2

Des variables aléatoires

On considère une suite de variables aléatoires indépendantes

suivant toutes la loi uniforme sur

et définies sur le même espace probabilisé (

).
Pour tout entier

on pose :

, c'est à dire que pour tout

on a :

On admet que

est bien une variable aléatoire.

Soit entier.
a) Démontrer que la fonction de répartition de est définie par :

b) Justifier que la variable aléatoire

est à densité.
c) Démontrer qu'une densité

est donnée, pour

réel, par :

Informatique. Compléter la fonction suivante en langage Python de manière que l'appel VarZ(10) simule la variable aléatoire . On rappelle que, la fonction random() ayant été importée, l'appel random (3) renvoie un vecteur de trois coordonnées qui simulent des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur .

def VarZ(n):
    from numpy import min
    from numpy.random import random
    return ........

Étudier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires .
Soit entier. Lorsque est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur , indépendante des variables aléatoires , on admet que est une variable aléatoire à densité donnée par :

On pose :

.
a) Démontrer que

On pourra considérer la variable aléatoire

.
b) La variable aléatoire

est-elle à densité?
c) Informatique. Écrire une fonction VarT en langage Python, d'argument n , qui simule la variable aléatoire

.
5. La figure 1 présente un histogramme de 2000 rectangles donnant la répartition de 20000 valeurs d'une simulation de la variable aléatoire

de la question 4 . La figure 2 est un zoom de la partie de droite de la figure 1.

Figure 1 - Répartition de 20000 valeurs prises par

Figure 2 - Zoom de la partie droite de la figure 1

a) La variable aléatoire

vous semble-t-elle discrète? Justifiez votre avis en une phrase.
b) Le rectangle le plus à droite de la figure 2 est-il cohérent avec le résultat de la question 4a ?

Problème

Formes linéaires sur un espace vectoriel de dimension finie

Dans tout le problème,

est un entier supérieur ou égal à 2 et

est un espace vectoriel de dimension finie

Notations et définition

On note le vecteur nul de .
Lorsque est un espace vectoriel on note l'espace vectoriel des applications linéaires de dans .
Une forme linéaire sur est une application linéaire .
On note, dans ce problème, l'espace vectoriel des formes linéaires sur .
Un hyperplan de est un sous-espace vectoriel de dimension de l'espace vectoriel .

Lorsque

est un espace vectoriel de dimension finie, on admettra que la dimension de l'espace vectoriel

est :

On admettra aussi qu'une intersection de sous-espaces vectoriels de

est encore un sous-espace vectoriel de

. Enfin, on rappelle le théorème de la base incomplète : toute famille libre de

peut se compléter en une base de

Préliminaire

Justifier que les espaces vectoriels et ont la même dimension.
Soit un élément de .
a) Quelles sont les dimensions possibles pour l'image de ?
b) En déduire que est soit nulle, soit surjective.
c) On suppose que n'est pas l'application nulle. Démontrer que ker est un hyperplan de .

Partie I - Des exemples

3. Premier exemple

Dans cette question,

est un entier naturel non nul et

est l'espace vectoriel

des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

.
On considère l'application

définie par :

.
a) Démontrer que

est un élément de

.
b) Quelle est la dimension du noyau de

?
c) Pour

on considère la fonction polynôme

Démontrer que la famille

est une base du noyau de

4. Second exemple

Dans cette question,

est un entier naturel non nul et

est l'espace vectoriel

des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

.
On considère l'application

définie par :

.
a) Démontrer que

est un élément de

.
b) Déterminer le noyau de

.
5. Dans cette question, on revient au cadre général.

Soient

deux éléments de

, non nuls, tels que ker

.
a) Démontrer que ker

.
b) Justifier de l'existence d'un élément

qui n'appartient pas au noyau de

.
c) Démontrer que

, où vect

désigne le sous-espace vectoriel de

engendré par le vecteur

.
d) On pose

. Démontrer que

est nulle.
e) Que peut-on en conclure pour les formes linéaires

Partie II - Hyperplans et formes linéaires

On a vu à la question 2c que le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan. Le but de cette question est de démontrer que tout hyperplan de est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Soit un hyperplan de .
a) Soit ( ) une base de . Justifier de l'existence d'un vecteur dans tel que soit une base de l'espace vectoriel .
b) Soit l'élément de défini par :

Justifier que cette définition est correcte et démontrer que

.
Dans la suite de cette partie, on considère un entier

et une famille (

) de formes linéaires sur

, ainsi que l'application:

On tiendra pour acquis que l'application

est linéaire.
7. Démontrer que :

.
8. On suppose dans cette question que l'application

est surjective.
a) On note

la base canonique de

. Justifier que

admet un antécédent

par

.
b) Démontrer que la famille (

) est libre dans

.
9. On suppose dans cette question que l'application

n'est pas surjective.
a) Que peut-on dire de la dimension

?
b) En complétant une base

en une base de

, démontrer que

est inclus dans un hyperplan

.
c) En déduire que la famille

est liée dans

(on pourra utiliser la question 6).
10. On suppose dans cette question que la famille

est libre dans l'espace vectoriel

.
a) Justifier que

est surjective.
b) Démontrer que :

Partie III - Formes linéaires et structure euclidienne

Dans cette partie, l'espace vectoriel

est muni d'un produit scalaire

Pour

on note

l'application qui à un élément

dans

associe le réel

.
11. Soit

.
a) Démontrer que

est un élément de

.
b) Déterminer le noyau de

.
c) Démontrer que si

est l'application nulle alors

.
12. Théorème de représentation des formes linéaires

On considère maintenant l'application

définie, pour

, par :

.
a) Démontrer que

est linéaire.
b) Démontrer que

est un isomorphisme de

sur

.
c) Justifier que pour tout

il existe un unique

tel que :

Application aux formes linéaires sur

Dans cette question,

est un entier naturel non nul et on considère

, l'espace vectoriel des matrices carrées de taille

.
a) Démontrer que

est un produit scalaire sur

.
b) Démontrer que si

est une forme linéaire alors il existe une matrice

dans

telle que pour toute matrice

dans

on ait :

Fin de l'énoncé

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