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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2021

Epreuve de maths approfondies - ECS 2021

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Suites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensInformatique
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Banque
BCE
Année
2021
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2021.

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Conception : EDHEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 4 mai 2021, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

  1. Question préliminaire : on considère une suite croissante et de limite et on pose, pour tout de :
a) Établir, pour tout entier naturel non nul, l'inégalité , puis étudier la monotonie de la suite .
b) Montrer que la suite converge vers un réel qui vérifie .
c) Établir, pour tout entier naturel non nul, l'égalité suivante :
d) En déduire que .
On se propose maintenant d'étudier la suite , définie par la donnée de et par la relation, valable pour tout entier naturel :
Pour tout entier naturel non nul, on pose .
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel est bien défini et supérieur ou égal à 1 .
b) Étudier les variations de la suite ( ), puis établir que la suite ( ) diverge et donner sa limite.
c) Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de pour laquelle on a .
n=1
u=1
S=1 // S1=u0=1
while S<=1000
u=-----
S=----
n=n+1
end
disp(----)
  1. Recherche d'un équivalent de .
    a) Montrer que .
    b) Étudier les variations de la fonction définie sur par , puis en déduire que la suite est croissante.
    c) Utiliser la première question pour établir que : .
  2. a) Exprimer en fonction de puis en déduire un équivalent de pour au voisinage de .
    b) Compléter le script Scilab suivant afin qu'il fasse le même travail que celui de la question 2c) sans calculer :
n=0
u=1 // u0=1
while u<=----
u=-----
n=n+1
end
disp(----)

Exercice 2

  1. On considère une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. On pose et on admet que est une variable aléatoire à densité. On note la fonction de répartition de et celle de .
    a) Déterminer pour tout réel négatif ou nul, puis exprimer à l'aide de la fonction pour tout réel strictement positif.
    b) En déduire qu'une densité de est donnée par:
Dans la suite, on considère une suite de variables aléatoires , toutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi, dite loi de Rademacher de paramètre (avec ), et définie par :
On considère de plus, pour dans , la variable aléatoire .
2) a) Donner l'espérance et la variance communes aux variables .
b) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par puis calculer et en déduire une relation entre et .
c) Écrire une autre relation vérifiée par et , puis en déduire la loi de .
d) Montrer que la suite converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.
3) Soit une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que les variables .
a) Établir l'inclusion suivante :
b) En déduire l'inégalité :
c) Montrer, en observant les valeurs que peut prendre la variable , que :
d) La suite converge-t-elle en probabilité ?
4) Dans cette question, on prend .
On considère, pour tout de , les variables aléatoires, et .
a) On rappelle que est la variable aléatoire centrée réduite associée à . Exprimer en fonction de .
b) Utiliser le théorème limite central pour établir que la suite . converge en loi vers une variable aléatoire de même loi que .

Exercice 3

On considère un espace euclidien pour lequel le produit scalaire de deux vecteurs et est noté , tandis que la norme du vecteur est notée . Le vecteur nul de est noté .
On considère aussi un endomorphisme de , différent de l'endomorphisme nul, et antisymétrique, c'est-à-dire qu'il vérifie :
  1. Montrer que : .
  2. Établir l'égalité : .
  3. On pose . Montrer que est un endomorphisme symétrique de et que ses valeurs propres sont toutes dans .
  4. On note l'application qui à tout vecteur de associe et on pose .
    a) Montrer que est un endomorphisme antisymétrique de .
    b) En déduire que les valeurs propres de sont toutes dans .
Dans les deux questions suivantes, on considère une valeur propre de et on note le sousespace propre associé à cette valeur propre.
5) On considère un vecteur non nul de .
a) Montrer que ( est une famille d'éléments de , orthogonale et libre.
b) En déduire, en considérant l'orthogonal de dans , que la dimension de est paire et qu'il existe un entier naturel non nul, ainsi que vecteurs de , tels que soit une base orthogonale de .
6) Soit un entier de .
a) Montrer que l'on a: .
b) On considère les vecteurs et .
Établir que et .
7) a) Montrer que le rang de est pair.
b) On pose . Déduire des questions précédentes qu'il existe une base orthonormale de et réels strictement positifs, pas nécessairement distincts, tels que la matrice de dans soit :

Problème

Partic 1: calcul d'intégrales utiles pour la suite
Pour tout couple d'entiers naturels, on pose : . On a, en particulier et .
  1. Donner les valeurs de et .
  2. Montrer que, pour tout couple ( ) de , on a l'égalité :
  1. Pour tout de , on considère la propriété « ».
Montrer, par récurrence sur , que est vraie pour tout entier naturel .
4) Donner explicitement, pour tout couple ( ) d'entiers naturels, l'expression de en fonction de et , puis en déduire pour tout entier naturel , la valeur de en fonction de .
Partie 2 : étude d'une suite de variables aléatoires
Pour tout entier naturel , on pose :
5) Montrer que peut être considérée comme une densité de probabilité.
On considère désormais une suite de variables aléatoires , où admet comme densité.
6) Reconnaître la loi de .
7) a) Utiliser la première partie pour montrer que possède une espérance et que .
b) Toujours en utilisant la première partie, montrer que possède une variance et exprimer en fonction de .
c) Montrer que la suite converge en probabilité vers une variable certaine que l'on précisera.
Partie 3 : simulation informatique de .
On considère variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé , mutuellement indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur .
On suppose que ces variables représentent respectivement les instants d'arrivée de personnes à leur lieu commun de rendez-vous. Pour tout de , on note alors l'instant d'arrivée de la personne arrivée la au rendez-vous (cette personne n'étant pas forcément . On admet que est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur ( ), et on note sa fonction de répartition.
8) On note la fonction de répartition commune aux variables . Rappeler 1'expression de selon que ou .
9) a) Écrire la variable en fonction de .
b) En déduire pour tout réel .
10) a) Écrire la variable en fonction de .
b) En déduire, pour tout réel , la probabilité puis déterminer pour tout réel .
11) Écrire un script Scilab permettant de simuler et pour une valeur de entrée par l'utilisateur.
12) a) Montrer que l' on a :
b) Déterminer une densité de et en déduire que suit la même loi que .
c) On considère le script Scilab suivant:
Quelle est la valeur renvoyée par ce script?
d) Écrire un script Scilab permettant de simuler .

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