La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Partie 1 : étude d'un exemple

On note Id l'endomorphisme identité de

et on considère l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique est :

a) Déterminer un polynôme annulateur de qui soit de degré 2 .
b) En déduire les deux valeurs propres possibles et (avec ).
c) En Scilab, la commande renvoie dans la variable r le rang de la matrice .

On a saisi :

A= [1,0,0;-2,3,-2;-1,1,0]
r1=rank (A-eye (3,3))
r2=rank (A-2*eye (3,3))
disp(r1,'r1=')
disp(r2,'r2=')

Scilab a renvoyé :

r1 =
    1.
r2 =
    2.

Que peut-on conjecturer quant aux valeurs propres de

et à la dimension des sous-espaces propres associés?
d) Donner une base de chacun des noyaux

.
2) a) Justifier qu'il existe une base (

) de

, où (

) est une base de

une base de

. On choisira ces vecteurs de façon que leurs composantes soient des entiers naturels les plus petits possible, la dernière composante de

et la première de

étant nulles.
b) On note

un vecteur quelconque de

. Déterminer, en fonction de

les coordonnées de

dans la base

Partie 2 : généralisation

Soit

deux entiers naturels tels que

, soit

- espace vectoriel de dimension

, et

un endomorphisme diagonalisable de

ayant

valeurs propres,

, deux à deux distinctes. On se propose de déterminer la décomposition de chaque vecteur

sur la somme directe

, où

désigne l'endomorphisme identité de

.
3) Soit

une base de

dans laquelle la matrice de

est une matrice diagonale

.
a) En notant

la matrice identité de

, montrer que :

b) En déduire un polynôme annulateur

Pour chaque

, on définit le polynôme

.
4) a) En distinguant les cas

, calculer

.
b) Montrer que (

) est une base de

.
c) Établir alors que :

d) En déduire que

.
5) a) Montrer que, pour tout

appartient à

, où

désigne l'image du vecteur

par l'endomorphisme

.
b) En déduire la décomposition cherchée.
6) Vérifier que cette dernière décomposition redonne celle obtenue pour l'endomorphisme

de la partie 1 , si l'on choisit

Exercice 2

Partie 1 : question préliminaire et présentation de deux variables aléatoires et

On rappelle que la fonction arc tangente, notée Arctan, est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle et qu'elle est de classe sur .
a) Rappeler l'expression, pour tout réel , de .
b) Donner la valeur de puis montrer que, pour tout réel strictement positif, on a:

c) Justifier l'équivalent suivant :

a) Vérifier que la fonction qui à tout réel associe peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire à valeurs dans .
b) Déterminer la fonction de répartition de .
a) Vérifier que la fonction qui à tout réel associe peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire à valeurs dans .
b) Déterminer la fonction de répartition de .

Partie 2 : étude d'une suite de variables aléatoires associée à

On considère une suite

de variables aléatoires, définies sur un espace probabilisé

, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que

.
Pour tout entier naturel

non nul, on pose

et on admet que

est une variable aléatoire, définie elle aussi sur l'espace probabilisé

.
4) a) Déterminer la fonction de répartition

.
b) On pose, pour tout entier

. Justifier que la fonction de répartition de

, notée

, est donnée par :

a) Déterminer, pour tout négatif ou nul, la valeur de .
b) Montrer que, pour tout strictement positif, on a :

c) En déduire pour tout

strictement positif, la valeur de

.
d) Déduire des questions précédentes que la suite de variables aléatoires

converge en loi vers

Exercice 3

Dans tout l'exercice,

désigne un entier naturel non nul.
On se place dans un espace euclidien

de dimension

et on note

une base orthonormale de

.
Le produit scalaire des vecteurs

est noté

et la norme de

est notée

Partie 1 : définition de l'adjoint d'un endomorphisme de .

Dans toute cette partie,

désigne un endomorphisme de

.
On se propose de montrer qu'il existe un unique endomorphisme de

, noté

, qui à tout vecteur

associe le vecteur

vérifiant :

a) Montrer que si existe, alors on a, pour tout de :

b) En déduire que si

existe, alors

est unique.
2) a) Vérifier que l'application

définie par l'égalité établie à la question 1a) est effectivement un endomorphisme de

.
b) Conclure que cette application est solution du problème posé, c'est-à-dire que c'est l'unique endomorphisme de

, appelé adjoint de

, vérifiant :

Partie 2 : étude des endomorphismes normaux.

On dit que

est un endomorphisme normal quand on a l'égalité :

Soit un endomorphisme symétrique de . Donner son adjoint et vérifier que est normal.

Dans la suite, u désigne un endomorphisme normal.
4) a) Montrer que:

.
b) En déduire que

.
5) Montrer que si

est un sous-espace vectoriel de

stable par

, alors

est stable par

.
6) On suppose que

possède une valeur propre

et on note

le sous espace propre associé.
a) Montrer que

est stable par

.
b) Établir que

puis en déduire que

est stable par

Problème

Partie 1

Dans cette partie,

désigne un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire

prenant ses valeurs dans

et on appelle fonction génératrice de

, la fonction

définie par :

Calculer .
Exprimer l'espérance de à l'aide de la fonction .
Établir la relation : .

Partie 2

On pose, pour tout

.
4) a) Justifier que, pour tout entier naturel

non nul, on a :

.
b) Montrer alors que:

.
c) En déduire un équivalent très simple de

lorsque

est au voisinage de

.
5) Montrer que la suite

est convergente.

Partie 3

Dans cette partie,

désigne toujours un entier naturel non nul.
6) On admet que, si

sont des entiers tels que

, la commande grand ( 1,1 , ' uin', a, b) permet à Scilab de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme discrète sur

.
Compléter le script suivant pour que les lignes (5), (6), (7) et (8) permettent d'échanger les contenus des variables

(1) n=input('entrez une valeur pour n :')
(2) A=1:n
\text { (3) } \mathrm { p } = \mathrm { n }
(4) for k=1:n
(5) j=grand(1,1,'uin',1,p)
(6) aux=----
7) A(j)=----
(8) A(p)=----
(9) }p=p-
(10) end
(11) disp(A)

On suppose dorénavant qu'après exécution du script précédent correctement complété, le vecteur A est rempli de façon aléatoire par les entiers de de telle sorte que les permutations soient équiprobables.
On considère alors les commandes Scilab suivantes (exécutées à la suite du script précédent) :

m=A (1)
c=1
for k=2:n
    if A(k)>m then m=A(k)
        c=k
    end
end
disp (c)

a) Expliquer pourquoi, à la fin de la boucle for, la variable m contient la valeur

.
b) Quel est le contenu de la variable c affiché à la fin de ces commandes ?
c) On rappelle qu'en Scilab, l'instruction find(test) permet de trouver à quelle(s) place(s) se trouvent les éléments d'une matrice satisfaisant au test proposé.
Compléter le script Scilab ci-dessous afin qu'il renvoie et affiche le contenu de la variable c étudiée plus haut :

c=find(---)
disp(c)

On admet que les contenus des variables

sont des variables aléatoires notées

et que le nombre d'affectations concernant la variable informatique

effectuées au cours du script présenté au début de la question 7), y compris la première, est aussi une variable aléatoire, notée

.
On suppose que ces variables aléatoires sont toutes définies sur le même espace probabilisé (

). On note

la fonction génératrice de

son espérance et

sa variance.
8) Donner la loi de

.
9) a) Montrer que

.
b) Déterminer

. En déduire les lois de

.
c) En considérant le système complet d'événements

, montrer que :

d) Donner la loi de

.
10) a) Vérifier que la formule obtenue à la question 9c) reste valable pour

.
b) Établir la relation :

c) En déduire que :

En dérivant la relation (*), trouver une relation entre et puis montrer que

Recherche d'un équivalent de .
a) En dérivant une deuxième fois la relation (*), montrer que :

b) En déduire, pour tout entier naturel

non nul,

en fonction de

.
c) Montrer que

Contenu du sujet

Source LaTeX du sujet • Code source complet

Aperçu du contenu :

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{Conception : EDHEC}
\secti...

15401 caractères • Texte complet disponible ci-dessus

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2019

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...