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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2016

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

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Suites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireProbabilités continuesStatistiquesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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BCE
Année
2016
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2016.

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Conception : EDHEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

mardi 3 mai 2016, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On considère la fonction définie sur par: .
On considère également la suite définie par et par la relation , valable pour tout entier naturel .
  1. a) Dresser le tableau de variation de , limites comprises.
    b) Vérifier que chaque terme de la suite est parfaitement défini et strictement positif.
  2. Les scripts suivants renvoient, pour celui de gauche, la valeur 5, et pour celui de droite, la valeur 6. Que sait-on de et ? Quelle conjecture peut-on émettre sur le comportement de la suite ?
u=1
n = 0
while u> 0.00001
u= exp(-u)/u
n = n+1
end
disp(n)

u=1
n = 0
while u<100 000
u= exp (-u)/u
n = n+1
end
disp(n)
  1. a) Étudier les variations de la fonction définie sur par: .
    b) En déduire que l'équation , d'inconnue , possède une seule solution, que l'on notera , sur .
    c) Montrer que .
  2. a) Établir les deux inégalités: et .
    b) En déduire les variations des suites et .
  3. On pose : .
    a) Déterminer pour tout réel strictement positif et vérifier que est continue en 0 .
    b) Résoudre l'équation , d'inconnue élément de .
    c) En déduire la limite de la suite .
    d) Montrer par l'absurde que la suite diverge puis donner .

Exercice 2

  1. Dans cette question, est un endomorphisme de qui vérifie , où désigne l'endomorphisme identité de .
    a) Déterminer .
    b) En déduire que : .
    c) Utiliser ce dernier résultat pour établir que .
  2. Dans cette question, est un endomorphisme de tel que : .
    a) Déterminer un polynôme du premier degré vérifiant .
    b) En déduire que : .
  3. Dans cette question, est un endomorphisme de et est un polynôme annulateur de , dont le degré est égal à (avec ), et tel que et .
    a) Montrer qu'il existe réels avec , tels que .
    b) En déduire que , puis établir que .
    c) En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions précédentes ?

Exercice 3

Les questions 1) et 2) sont indépendantes des suivantes.
Soit une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres et (avec ). On rappelle qu'une densité de est la fonction définie sur par: .
On suppose que l'on ne connaît pas les paramètres et et on souhaite les estimer par une méthode appelée méthode du maximum de vraisemblance.
Pour ce faire, on considère un -échantillon ( ) de la loi de , avec . On rappelle que les variables aléatoires sont indépendantes et suivent toutes la même loi que .
On appelle vraisemblance du couple , la fonction notée définie par :
ùéé
  1. Donner l'expression de , puis celle de en fonction de et , .
  2. a) Justifier que la fonction , définie sur l'ouvert , est de classe sur .
    b) Montrer que admet un seul point critique sur tel que :
c) Déterminer les valeurs des dérivées partielles d'ordre 2 de en .
On vérifiera en particulier que : .
d) En déduire que admet un maximum local en .
e) Expliquer pourquoi la fonction admet aussi un maximum local en .
On pose dorénavant et .
3) Vérifier que est un estimateur sans biais de .
4) Montrer que est un estimateur asymptotiquement sans biais de .
5) On se propose, dans cette question, de montrer que est un estimateur convergent de .
a) Rappeler pourquoi la suite converge en probabilité vers . Qu'en déduire pour la suite ? Justifier.
b) Montrer que possède un moment d'ordre 4 . En déduire que la suite converge en probabilité vers .
c) Établir que, pour tout strictement positif, on a :
d) Déduire des questions précédentes que est un estimateur convergent de .

Problème

Partie 1 : résultats préliminaires

  1. Pour chaque entier naturel , on considère une matrice de , dont l'élément situé à l'intersection de la è ligne et de la è colonne est noté , ainsi qu'une matrice de , dont l'élément situé à l'intersection de la ì ligne et de la è colonne est .
    On suppose que la suite de matrices ( ) converge vers la matrice , c'est-à-dire que :
Soient et deux autres matrices de , indépendantes de .
Montrer que . On admet que ceci reste vrai si appartient à .
On admet que et que ceci reste vrai si appartient à .
On admet également que .
2) Montrer que, si une matrice de est telle que, pour tout de est une constante , alors est valeur propre de .
3) Montrer que si une matrice de est diagonalisable, alors la somme de ses valeurs propres, (chacune étant comptée un nombre de fois égal à la dimension du sous-espace propre associé) est égale à la trace de .

Partie 2 : étude de la matrice d'une chaîne de Markov

On considère deux urnes et contenant chacune 3 boules. Au départ, l'urne contient 3 boules blanches et l'urne contient 3 boules noires.
On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l'autre urne (un tirage est un échange de 2 boules).
Pour tout entier naturel , on note la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient avant le è tirage (c'est-à-dire après le è échange) et on a donc .
On considère le vecteur ligne .
4) Pour tout couple d'éléments de , déterminer .
5) a) Soit la matrice de dont l'élément de la ( è ligne et de la ( ) ème colonne est égal à . Justifier soigneusement que est la matrice donnée à la question 12).
b) Montrer que: .
c) En déduire que: .
6) a) Montrer sans calcul que 1 est valeur propre de .
b) On considère les vecteurs et .
Montrer que et sont vecteurs propres de et donner les valeurs propres associées.
c) Montrer que, si est diagonalisable, alors possède une quatrième valeur propre que l'on déterminera. Vérifier que est effectivement valeur propre de et conclure que est diagonalisable.

Partie 3 : recherche d'une loi stationnaire

  1. Justifier qu'il existe une matrice inversible, dont la première colonne ne contient que des " 1 ", et une matrice diagonale telles que .
  2. Montrer que : .
  3. Soit la première ligne de .
    a) En utilisant la relation , montrer que : et .
    b) Conclure, en considérant le produit , que .
  4. Déduire de ce qui précède les 16 coefficients de la matrice .
  5. On considère une autre expérience aléatoire qui consiste à tirer 3 boules, une par une et sans remise, dans une urne qui en contient 6 , dont 3 sont blanches et 3 sont noires.
    On note (resp. ) l'événement «obtenir une boule blanche (resp. noire) au è tirage» et la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
    a) Quelle est la loi de ?
    b) Vérifier que est vecteur propre de , associé à la valeur propre 1.
    c) Montrer que la suite ( ) converge en loi vers .
  6. On rappelle que la commande , 'markov' , renvoie les premiers états suivant l'état initial , d'une chaîne de Markov de matrice et on rappelle également que Scilab assimile un booléen vrai au nombre 1 et un booléen faux au nombre 0 .
    On considère le script suivant :
n = input('entrez la valeur de n :')
M= [0,1,0,0; 1/9,4/9,4/9,0; 0,4/9,4/9,1/9; 0,0,1,0]
X = grand(n,'markov',M,4)-1
f = sum(X==0)/n
disp(f)
De quelle valeur exacte le contenu de est-il proche lorsque est assez grand ?

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