La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Soit

une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général

converge.
Le but de cet exercice est de prouver que la série de terme général

converge également et que, de plus, on a :

Étude d'un exemple : pour tout entier naturel non nul, on pose .
a) Vérifier que puis en déduire que la série de terme général converge et donner sa somme.
b) Pour tout entier naturel non nul, déterminer en fonction de .
c) Établir la convergence de la série de terme général et donner sa somme, puis en déduire l'inégalité demandée.
Étude d'un deuxième exemple.

On suppose, dans cette question, que, pour tout entier naturel

non nul, on a :

.
a) Écrire une déclaration de fonction Pascal dont l'en-tête est function fact (

: integer) : integer ; et qui renvoie

à l'appel de fact

.
b) Écrire le corps principal d'un programme Pascal, utilisant cette fonction, et permettant de calculer et d'afficher la valeur de

lorsque la valeur de

est entrée au clavier par l'utilisateur.
c) Établir la convergence de la série de terme général

.
d) Montrer que, pour tout entier naturel

non nul, on a :

.
e) En déduire que la série de terme général

converge et que l'on a :

On revient au cas général.
3) Montrer, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que :

a) Utiliser le résultat précédent pour établir que :

b) En déduire, par sommation, que :

.
c) Montrer enfin que la série de terme général

converge puis établir le résultat demandé.

Exercice 2

Dans tout l'exercice,

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par

un espace vectoriel de dimension

et on rappelle qu'un hyperplan de

est un sous-espace vectoriel de

de dimension

. Pour finir, on désigne par Id l'endomorphisme identité de

Étude d'un premier exemple ( et ).

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique est

. Montrer que

est un hyperplan de

et qu'il est stable par

.
2) Étude d'un deuxième exemple (

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique est

.
a) Déterminer les valeurs propres de

.
b) Montrer que

est un hyperplan de

et qu'il est stable par

On suppose dans la suite que

est un espace euclidien de dimension

et on note

une base orthonormale de

.
Le produit scalaire des vecteurs

est noté

et la norme de

est notée

.
On considère un endomorphisme

qui possède au moins une valeur propre

réelle et on se propose de démontrer qu'il existe un hyperplan de

stable par

.
3) On note

l'endomorphisme de

dont la matrice dans la base

est la transposée de la matrice de

dans la base

.
a) Vérifier que l'on a :

.
b) Établir que

est l'unique endomorphisme de

vérifiant :

a) Montrer que est valeur propre de .
b) On considère un vecteur propre de associé à la valeur propre .

Montrer que

est un hyperplan de

et qu'il est stable par

Exercice 3

On considère la fonction définie sur par: .

Montrer que

peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une suite

de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé (

), mutuellement indépendantes et admettant toutes

comme densité.
De plus, pour tout entier naturel

non nul, on pose

. On admet que

sont des variables aléatoires à densité définies, elles aussi, sur (

).
2) Déterminer la fonction de répartition, notée

, commune aux variables aléatoires

.
3) On note

la fonction de répartition de la variable aléatoire

. Déterminer explicitement

en fonction de

.
4) a) Montrer que, pour tout réel

négatif ou nul, on a

.
b) Justifier que, pour tout réel

strictement positif, il existe un entier naturel

non nul, tel que, pour tout entier

supérieur ou égal à

, on a

.
En déduire que :

.
5) a) Déterminer, pour tout réel

, la limite de

lorsque

tend vers

. On note

cette limite.
b) Montrer que la fonction

ainsi définie est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
c) En déduire que la suite

converge en loi vers une variable aléatoire

dont la fonction de répartition est

.
6) Vérifier que la variable aléatoire

suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

Problème

On considère deux variables aléatoires

définies sur un espace probabilisé (

), indépendantes, et suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre

, où

désigne un réel strictement positif. On se propose de déterminer un équivalent de la probabilité

lorsque

est au voisinage de

Partie 1

Pour tout entier naturel

, on pose

a) Calculer et .
b) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
c) Établir que : . En déduire que la suite ( ) est convergente.
a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que : .
b) En déduire que : .
c) Montrer que: .
d) En déduire la valeur de .
a) Calculer .
b) En déduire, en utilisant les variations de , que : .
c) Montrer enfin que l'on a : .

Partie 2

Établir, pour tout réel , la convergence de l'intégrale .

Dans la suite de cette partie, x désigne un réel strictement positif.

a) Montrer qu'il existe une constante telle que : .
b) Montrer que : .
a) En se référant à une loi normale, donner les valeurs de et .
b) Utiliser le changement de variable pour montrer que : .
c) Montrer de la même façon que : .
a) Montrer, grâce au changement de variable , que :

b) Utiliser le résultat de la question 2b) pour en déduire que :

Partie 3

Exprimer comme somme d'une série la probabilité .
a) On désigne par un réel de et par un réel strictement positif.

Montrer que, pour tout

compris entre 0 et

, on a:

. Écrire ensuite l'inégalité de TaylorLagrange à l'ordre

pour la fonction

entre 0 et

.
b) Montrer que:

.
c) Déduire des deux questions précédentes que :

.
d) Montrer enfin que :

.
3) Établir que :

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