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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2011

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsProbabilités continuesSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2011
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2011ECS MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2011.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES

Option scientifique
Vendredi 6 mai 2011
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Soient un espace vectoriel réel de dimension finie, notée et un endomorphisme de . On note l'identité de .
Si est un élément de , on rappelle qu'on désigne par l'endomorphisme suivant : où est la composée par convention).
Dans toute la suite est un polynôme qui admet 1 pour racine simple et tel que . Ainsi on peut écrire avec .
  1. Montrer que l'image de ( ) est contenue dans
  2. On note .
    (a) Montrer que si alors . .
    (b) En déduire que
    (c) En déduire à l'aide du théorème du rang que .
  3. Montrer que , et seulement si, 1 n'est pas valeur propre de .
  4. On suppose dans cette question que , que est de dimension 3 et que 1 est valeur propre de ; on note l'espace propre associé à la valeur propre 1.
Montrer que si la dimension de est supérieure ou égale à 2, l'endomorphisme est diagonalisable (on pourra distinguer deux cas, suivant que la dimension de est égale à 2 ou égale à 3 ).

Exercice 2

On considère un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On dispose d'une urne contenant boules numérotées de 1 à , chaque numéro apparaissant deux fois. On effectue « au hasard» une succession de tirages simultanés de deux boules de cette urne selon le protocole suivant :
  • à chaque tirage de deux boules, si les deux boules tirées portent le même numéro, on ne remet pas les deux boules
    dans l'urne et on dit qu'une paire est reconstituée.
  • si les deux boules portent des numéros différents, on les remet dans l'urne avant de procéder au tirage suivant. Pour tout élément de , et tout entier naturel non nul, on pose si tirages exactement ont été nécessaires pour reconstituer paires.
    On admet qu'il existe un espace probablisé ( ) permettant de modéliser cette expérience et que, pour tout entier de est une variable aléatoire définie sur cet espace.
  1. (a) Déterminer la loi de et reconnaître cette loi.
    (b) Donner, sans calcul la valeur de l'espérance de .
  2. Compléter la partie principale du programme suivant afin qu'il affiche une réalisation de la variable :
    begin
    randomize ; readln(n) ;t : 0;
    repeat a: ;b : random ;
    t : ;
    until.......;
    writeln(t) ;
    end.
  3. On pose et pour tout de , .
    (a) Que représente la variable ?
    (b) Déterminer, pour tout de la loi de ainsi que son espérance.
    (c) En déduire que admet une espérance mathématique et que l'on a .
  4. On effectue une suite de tirages de deux boules selon le protocole précédent.
On note la variable aléatoire égale au nombre de paires reconstituées lors de ces tirages.
(a) Calculer .
(b) Déterminer .
(c) Montrer que .
5. Expliquer ce que fait la partie principale du programme suivant :
begin
randomize; readln(n);m : n ; z: 0;
for to n do
begin
a: random ;b: random ;
if then begin ;end ;
end ;
writeln(z) ;
end.

Exercice 3

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à .
  1. Montrer que, pour tout couple d'éléments de , l'intégrale : est convergente.
On admet que l'application, notée . à valeur dans , définie par :
est un produit scalaire. On note || || la norme associée.
2. (a) Soit et deux éléments de et leurs polynômes dérivés respectifs. Établir la relation suivante :
(b) En déduire que si est un polynôme non constant de , orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur , alors on a .
3. On se propose de démontrer dans cette question qu'il existe une unique famille de polynômes ( ) vérifiant :
(a) On suppose qu'il existe deux familles de polynômes et vérifiant les relations .
Montrer que, pour tout élément de , .
(b) On note la famille obtenue ( à partir de la base canonique de par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
i. Justifier, pour tout de , la relation .
ii. En déduire une famille vérifiant .
(c) Conclure et calculer explicitement et .

Problème

Toutes les variables aléatoires intervenant dans ce problème sont définies sur le même espace probabilisé ( ). On considère une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. On considère aussi, pour tout entier naturel non nul, la variable aléatoire , définie par : , c'est-àdire que, pour tout de , on a .
On cherche alors des suites réelles et , où la suite est à termes strictement positifs, telles que la suite converge en loi vers une variable aléatoire non constante.
La fonction exponentielle sera indifféremment notée ( ) ou exp.

Partie 1 - La loi exponentielle

On suppose dans cette partie que la loi commune des est la loi exponentielle de paramètre , où est un réel strictement positif.
  1. Soit la fonction définie que par: .
    (a) Montrer que est une densité de probabilité. On note une variable aléatoire admettant comme densité.
    (b) Déterminer la fonction de répartition, notée , de la variable .
  2. (a) Donner, pour tout entier naturel non nul, la fonction de répartition de la variable .
    (b) Pour tout entier naturel non nul, on pose : . Montrer que la suite converge en loi vers une variable dont on précisera la loi.

Partie 2 - La loi normale

On suppose dans cette partie que la loi commune des est une loi normale centrée réduite. Soit la densité de .
  1. (a) Montrer que pour tout , l'intégrale est convergente et à l'aide d'une intégration par parties, montrer que
(b) En déduire que pour tout ,
puis que
  1. Soit un réel strictement positif. Montrer que pour tout entier naturel non nul, l'équation admet sur une unique solution que l'on notera .
  2. Montrer que .
  3. Montrer que pour tout entier non nul,
  1. En prenant un équivalent de chaque membre de l'équation de la question 4., montrer que
En déduire que l'on peut écrire pour ,
ù
  1. (a) En utilisant la question 4., montrer que pour tout entier ,
(b) En prenant un équivalent de chaque membre de l'équation du ), montrer que
En déduire que
où .
On admet alors qu'en poursuivant le développement asymptotique, que l'on peut écrire pour tout entier supérieur à 2 :
  1. On pose pour et .
Montrer à l'aide des questions précédentes, que pour tout réel, et pour tout entier , en posant que :
(a)
(b)
(c) En déduire, en utilisant la question 1.b. que puis que la suite converge en loi vers la variable (la variable est définie dans la partie 1.)

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