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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2008

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesRéductionAlgèbre linéaireSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2008
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2008ECS MathématiquesMathématiques 2008

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2008.

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Concours EDHEC
Classes Préparatoires

Mai 2008

MATHEMATIQUES

Option scientifique

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

  1. On considère la matrice , élément de .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels et pour que la matrice soit diagonalisable dans .
2) Dans la suite, et sont des variables aléatoires réelles, définies sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes et qui suivent toutes les deux la loi uniforme sur [ 0,1 ]. On note (respectivement ) la fonction de répartition de (respectivement ).
a) Déterminer une densité de (on ne demande pas de vérifier que est une variable aléatoire à densité).
b) Déterminer une densité de (on ne demande pas de vérifier que est une variable aléatoire à densité)..
c) En déduire que la variable aléatoire admet pour densité la fonction définie par :
d) Déterminer enfin la probabilité que la matrice soit diagonalisable dans

Exercice 2

On se propose dans cet exercice de montrer que la série de terme général est convergente et de calculer sa somme.
  1. On désigne par une fonction de classe sur l'intervalle et par un réel strictement positif. Montrer, grâce à une intégration par parties, que : .
  2. a) On rappelle que : .
Exprimer, pour tout réel en fonction de et .
b) En déduire que :
c) Montrer alors que : .
3) Utiliser la première question pour conclure que la série de terme général converge et que :

Exercice 3

Dans cet exercice, désigne un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie. On se propose d'étudier quelques situations dans lesquelles on peut établir que .
  1. a) Montrer que si est un automorphisme de , alors on a bien .
    b) Étude d'un exemple : on considère deux sous-espaces vectoriels supplémentaires, et , de . Tout élément de s'écrit donc de manière unique , avec et . On appelle alors symétrie par rapport à parallèlement à l'endomorphisme de défini par :
Déterminer et en déduire que .
2) Dans cette question, on suppose diagonalisable et non bijectif (le cas où est bijectif ayant été traité dans la première question).
a) Traiter le cas où est l'endomorphisme nul.
b) Dans cette question, on suppose que n'est pas l'endomorphisme nul.
(i) Montrer que a d'autres valeurs propres que la valeur propre 0 .
(ii) Montrer que tout sous-espace propre de associé à une valeur propre non nulle est inclus dans .
(iii) En déduire que .
c) Retrouver le résultat de la question 2b) en considérant la matrice de dans une base bien choisie.
3) Dans cette question, on considère un endomorphisme de dont un polynôme annulateur est de la forme ou encore , avec et .
a) Soit un élément .
(i) Montrer qu'il existe un vecteur de tel que et .
(ii) En déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on a puis déterminer .
b) Établir que .

Problème

Dans ce problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 3 et est un entier naturel.
Un jeu oppose joueurs .
Le jeu se déroule de la façon suivante : une pièce équilibrée est lancée ( ) fois. Avant les lancers, chaque joueur écrit une liste de prévisions pour ces lancers. Cette liste contient donc une suite de caractères (pour "pile") ou (pour "face"). Les gagnants sont les joueurs ayant le plus grand nombre de prévisions correctes et ils se partagent équitablement la somme de euros.
Par exemple, pour , si les lancers donnent trois fois "pile", le joueur ayant noté ( ) a 2 prévisions correctes, et si les lancers donnent dans cet ordre , le joueur ayant noté ( ) n'a aucune prévision correcte.
Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du joueur , on note la variable aléatoire égale au gain du joueur et l'espérance de .
L'objectif du problème est de déterminer l'espérance de gain du joueur selon deux stratégies présentées dans les parties 2 et 3 .

Partie 1 : quelques résultats utiles pour les parties suivantes.

  1. Montrer que les variables suivent toutes la même loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    On pose alors, pour tout de et pour tout de et ).
  2. On pose et .
    a) Calculer .
    b) Montrer que .
    c) Déduire des deux résultats précédents la valeur de , puis montrer que .
Partie 2 : les joueurs jouent au hasard et indépendamment les uns des autres.
Dans cette partie, les variables sont donc mutuellement indépendantes.
  1. Montrer que .
  2. a) Montrer que .
    b) Montrer que, pour tout élément de .
    c) En déduire que l'espérance de conditionnellement à l'événement ( ) est :
  1. a) Établir que, pour tout non nul de et pour tout élément de , on a:
b) Établir que puis en déduire que, pour tout non nul de , l'espérance de conditionnellement à l'événement ( ) est :
c) Vérifier que cette expression reste valable pour en posant .
4) Utiliser les questions 3b) et 3c) pour établir que .

Partie 3: J1 et J2 forment un groupe et les autres joueurs jouent comme dans la partie 2.

Dans cette partie et adoptent la stratégie suivante : joue au hasard mais joue, pour chaque lancer, les prévisions contraires de celles de . Par exemple, pour , si a choisi alors choisit .
On note le gain du groupe formé par ces deux joueurs, et décidant de partager équitablement ce gain. On a donc, en désignant par et les gains respectifs de et : et .
On pose, pour tout de et pour tout de et . On note la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du meilleur de et .
  1. a) Montrer que un et un seul des joueurs et a au moins ( ) prévisions correctes.
    b) En déduire que .
  2. Vérifier que, dans l'exemple donné au début de cette partie, prend la valeur 3 si les lancers donnent dans cet ordre ou et prend la valeur 2 sinon.
  3. Pour tout de , montrer que .
  4. Montrer que .
  5. a) Établir que, pour tout de et pour tout élément de , on a :
b) En déduire que, pour tout de , l'espérance de conditionnellement à l'événement ( ) est :
  1. a) En déduire, en utilisant le résultat de la deuxième question de la partie 1 , que :
b) Montrer par récurrence que : .
c) Déterminer et vérifier que la stratégie adoptée par les joueurs et est avantageuse pour (et donc pour ) du point de vue de l'espérance de leur gain.

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