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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2006

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiques
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2006ECS MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2006.

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5e088fa1-b0fb-487a-8731-be0447079d4e

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption scientifiqueMardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Dans cet exercice, désigne un entier naturel non nul. On note id (respectivement ) l'endomorphisme identité (respectivement l'endomorphisme nul) du -espace vectoriel et on considère un endomorphisme de vérifiant : , où et sont deux complexes distincts.
  1. a) Vérifier que .
    b) En déduire que : .
    c) Conclure que est diagonalisable et donner ses valeurs propres (on sera amené à étudier trois cas).
    Dans la suite de l'exercice, on désigne par un entier naturel et l'on se propose de montrer qu'il n'existe pas de matrice de telle que , où désigne la matrice diagonale de dont les éléments diagonaux valent 1 .
  2. Trouver une matrice de telle que .
  3. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice de telle que .
    a) Utiliser la première question pour montrer que est diagonalisable dans (T) et que ses valeurs propres sont et .
    b) Pour toute matrice de , on note la matrice .
On note et les sous-espaces propres de associés aux valeurs propres et .
Montrer que .
c) En déduire que, si ( ) est une base de , alors ( ) est une famille libre de . Conclure que .
d) Établir enfin le résultat demandé.

Exercice 2

  1. a) Montrer que l'on définit bien une unique suite , à termes strictement positifs, en posant : et, pour tout entier supérieur ou égal à .
    b) Vérifier que , puis calculer .
  2. Montrer que la série de terme général est divergente et donner .
  3. a) Établir que: .
    b) En déduire que la suite ( ) est convergente.
    c) Donner un équivalent de lorsque est au voisinage de puis déterminer la nature de la série de terme général .
    d) En déduire , puis montrer que .
  4. a) Montrer que: , où désigne le coefficient binomial .
    b) En utilisant la question 2), déterminer , puis montrer que : .
  5. En utilisant le résultat de la question 3), montrer que : .

Exercice 3

On considère deux variables aléatoires et , définies sur un espace probabilisé ( ), indépendantes et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite (de densité notée et de fonction de répartition notée ).
On pose et l'on se propose de déterminer la loi de , ainsi que son espérance et sa variance.
  1. a) Montrer que est une variable aléatoire à densité définie elle aussi sur ( ).
    b) Vérifier que admet pour densité la fonction définie pour tout réel par :
  1. a) Rappeler la valeur de l'intégrale .
    b) En déduire la convergence et la valeur de .
    c) En remarquant que, pour tout réel , montrer, grâce à une intégration par parties, que : .
    d) Montrer de même que : .
En déduire que a une espérance et donner sa valeur.
3) a) Montrer que et suivent la même loi.
b) Déterminer , puis donner la valeur de la variance de .

Problème

Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine .
Au départ, le mobile est à l'origine (point d'abscisse 0 ).
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse à l'instant , alors, à l'instant il sera sur le point d'abscisse avec la probabilité ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité .
Pour tout de , on note l'abscisse de ce point à l'instant et l'on a donc .
On admet que, pour tout de est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( ) et on pose .

Partie 1: étude de la variable .

  1. Vérifier que puis donner la loi de .
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel .
  3. a) Montrer que: .
    b) En déduire que : .
    c) En remarquant que , montrer que : .
    d) Retrouver ainsi les valeurs de et puis déterminer et .
  4. a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3a) peut s'écrire sous la forme , montrer que : .
    b) En déduire, pour tout entier naturel non nul, sous forme de somme mettant en jeu certains termes de la suite .
    c) Pour tout entier naturel non nul, donner la valeur de et vérifier que
    .
    Déduire de ces deux résultats que : .
    d) Montrer que, pour tout de . Déterminer ensuite .

Partie 2 : étude du premier retour à l'origine.

On note l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet que est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur . On convient que prend la valeur 0 si le mobile ne revient jamais en .
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont , alors on a . Si les abscisses successives sont: , alors on a .

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