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BCE Maths approfondies EDHEC ECG 2023

Epreuve de maths approfondies - ECG 2023

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Algèbre linéaireRéductionProbabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementTopologie/EVNNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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Banque
BCE
Année
2023
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2023ECG MathématiquesMathématiques 2023

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECG, session 2023.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
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Conception : EDHEC BS

MATHEMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GENERALE

Jeudi 4 mai 2023, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que la bibliothèque numpy de Python est importée avec import numpy as np et que la librairie numpy. random de Python est importée grâce à la commande import numpy.random as rd.

Exercice 1

Partie 1

On désigne par un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on considère un endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est une matrice telle que .
On note la première colonne de et on suppose que est non nulle.
  1. Donner la dimension de et en déduire une valeur propre de .
  2. a) Montrer qu'il existe une matrice appartenant à telle que .
    b) On rappelle que désigne la trace de la matrice . Montrer que .
    c) Établir que l'on a l'égalité :
  1. Montrer que est valeur propre de .
  2. On suppose . Montrer que n'est pas diagonalisable.
  3. On suppose . À l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs propres de et montrer que est diagonalisable.

Partie 2

On désigne par trois réels non nuls et on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
On suppose que n'est pas inversible.
6) a) En considérant le système , où , établir, en raisonnant par l'absurde, la relation : .
b) En déduire le rang de .
7) a) Conclure que est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, appartient à .

Exercice 2

On désigne par un réel strictement supérieur à 2 et on suppose que toutes les variables aléatoires rencontrées dans cet exercice, sont définies sur le même espace probabilisé.

Partie 1 : étude d'une loi de probabilité

On considère la fonction définie par : .
  1. Montrer que peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoire telle que , de densité et on note sa fonction de répartition. On dit que suit la loi de Pareto de paramètre .
2) Montrer que possède une espérance et une variance et les déterminer.
3) Déterminer, pour tout réel , l'expression de en fonction de et .
4) On pose et on admet que est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que . On note sa fonction de répartition.
a) Pour tout réel , exprimer à l'aide de la fonction .
b) En déduire que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
c) Écrire une fonction Python d'en-tête def simulX (c) utilisant rd.exponential et permettant de simuler .

Partie 2 : produit de deux variables suivant la loi de Pareto de paramètre c

On considère deux variables aléatoires et indépendantes et suivant toutes les deux la loi de Pareto de paramètre . On pose et .
5) Écrire une fonction Python d'en-tête def simulZ(c) utilisant la fonction simulX (c) et permettant de simuler .
6) Déterminer l'espérance et le moment d'ordre 2 de puis vérifier que la variance de est donnée par :
  1. a) Donner la loi commune suivie par et .
    b) En déduire la loi de .
  2. a) Soit la fonction de répartition de et celle de . Pour tout réel , exprimer à l'aide de , puis vérifier qu'une densité de est la fonction définie par :
b) Soit la fonction de répartition de . Exprimer, pour tout réel, à l'aide de . En déduire qu'une densité de est donnée par:
  1. a) Pour tout réel strictement supérieur à 1 , montrer que l'intégrale converge et donner sa valeur.
    b) Retrouver alors les valeurs de et déterminées à la question 6).

Exercice 3

On effectue des lancers d'une pièce donnant "pile" avec la probabilité et "face" avec la probabilité .
Pour tout de , on note l'événement «obtenir "face" au lancer » et on pose . On note la variable aléatoire égale au nombre de "face" obtenus avant le premier "pile".
  1. a) Utiliser les événements et pour déterminer la loi de que l'on note désormais .
    b) Calculer l'espérance et la variance de .
  2. Selon le principe de la division euclidienne dans , on admet qu'il existe deux variables aléatoires et , définies sur le même espace probabilisé que et telles que , avec et .
    Par exemple, si prend la valeur 5 , alors prend la valeur 1 et prend la valeur 2 .
    a) Écrire, pour tout entier naturel , l'événement à l'aide de la variable .
    b) En déduire que suit la loi .
  3. Montrer que et .
  4. Vérifier que les variables et sont indépendantes.
  5. Simulation des variables et .
    a) Expliquer pourquoi la fonction suivante renvoie la valeur prise par lors de l'expérience décrite en début d'exercice.
def simulX(p):
    X=rd.geometric(p)-1
    return X
b) Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie les valeurs prises respectivement par et .
def div(p):
    X=simulX (p)
    Q=------
    R=------
    return(X, Q, R)

Problème

Rappel de quelques formules trigonométriques utiles dans ce problème :
On note l'ensemble des nombres entiers (positifs ou négatifs) et l'ensemble des nombres réels.
On admet que l'ensemble des applications de dans , muni des opérations usuelles (somme de deux applications et produit d'une application par un réel) est un espace vectoriel.
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 et .
On rappelle qu'une application de dans est dite -périodique (ou de période ) si :
On note l'ensemble des applications -périodiques de dans .
  1. Soit l'application de dans définie par: . Vérifier que est élément de .
  2. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
  3. Soit un entier quelconque.
On admet qu'il existe un unique couple tel que .
Montrer alors que, pour toute fonction de , on a l'égalité :
  1. Pour tout de , on considère la fonction -périodique de dans ( est donc élément de dont la restriction à est donnée par : .
    a) Utiliser la question 3) pour montrer que, pour tout élément de , on a:
b) En déduire que la famille est une base de .
c) Quelles sont les coordonnées d'un élément quelconque de dans la base ?
5) Pour tout couple de , on pose : .
a) Montrer que , . On note la norme associée.
b) Montrer que la base est orthonormale pour ce produit scalaire.
c) On admet que, pour tout couple de réels, avec , et pour tout entier , on a:
Montrer la relation :
d) En déduire les égalités et .
e) Déterminer la norme de l'application présentée à la question 1).
6) On considère l'application notée qui, à tout élément de , associe l'application , que l'on pourra noter s'il n'y a pas de confusion possible, définie par :
a) Vérifier que, pour tout de est élément de .
b) Montrer que l'application est un endomorphisme de .
c) Vérifier que l'application est donnée par :
d) En déduire, à l'aide de la deuxième des égalités de la question 5d), que :
  1. On considère l'application notée qui, à tout élément de , associe l'application , que l'on pourra noter s'il n'y a pas de confusion possible, définie par :
On admet que est un endomorphisme de .
a) Montrer que : .
b) En déduire que est un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien .
c) Montrer que les valeurs propres de sont négatives ou nulles.
8) On note l'application constante de dans égale à 1 .
a) Vérifier que .
b) Montrer alors que .
9) On pose , où désigne l'ensemble des valeurs propres de . On considère un élément de tel que .
a) Justifier l'existence d'une base orthonormale de , formée de vecteurs propres de , de la forme , puis montrer qu'il existe tel que .
b) Montrer enfin que : .
10) Dans cette question, on prend et on note la matrice de dans la base de .
a) Vérifier que la première colonne de est .
On admet, pour la suite, que l'on a :
b) Déterminer un polynôme annulateur de qui soit de degré 2 .
En déduire les valeurs propres de .
Comment s'écrit l'inégalité obtenue à la question 9b) dans ce cas ?
c) Que peut-on déduire du cas de l'application ?

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